वेरिएशननल क्वांटम एल्गोरिदम की पहुंच क्षमता को इनपुट-स्टेट डिज़ाइन के माध्यम से बढ़ाना

पृष्ठभूमि और अकादमिक वंश

उत्पत्ति और अकादमिक वंश

इस पत्र में संबोधित समस्या क्वांटम कंप्यूटिंग के उभरते क्षेत्र से उत्पन्न होती है, विशेष रूप से नॉइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरणों के संदर्भ में। क्वांटम कंप्यूटर शास्त्रीय मशीनों के लिए दुर्गम समस्याओं को हल करने का अपार वादा रखते हैं, लेकिन वर्तमान NISQ हार्डवेयर आरंभीकरण, संचालन और रीडआउट में अपूर्णताओं से सीमित है। इन निकट-अवधि के उपकरणों के लिए एक केंद्रीय चुनौती "क्वांटम एडवांटेज" का प्रदर्शन करना है - यानी, शास्त्रीय कंप्यूटरों की तुलना में व्यावहारिक समस्याओं को अधिक कुशलता से हल करना।

इस चुनौती से निपटने के लिए वेरिएशननल क्वांटम एल्गोरिदम (VQAs) एक प्रमुख दृष्टिकोण के रूप में उभरे। पहली बार 2014 के आसपास वेरिएशननल क्वांटम आइगेनसॉल्वर (VQE) [20, 104, 105] के साथ पेश किए गए, VQAs जटिल कम्प्यूटेशनल कार्यों को अनुकूलन समस्याओं के रूप में फ्रेम करते हैं। मुख्य विचार एक वांछित क्वांटम अवस्था, अक्सर एक भौतिक प्रणाली के हैमिल्टनियन $H$ की जमीनी अवस्था, को लागत फ़ंक्शन $E(\theta)$ को न्यूनतम करके अनुमानित करना है। यह एक पैरामीट्रिक क्वांटम अवस्था तैयार करके प्राप्त किया जाता है, जिसे "एन्सेटेट अवस्था" $|\Psi(\theta)\rangle = U(\theta)|\Psi_0\rangle$ के रूप में जाना जाता है। यहाँ, $U(\theta)$ ट्यून करने योग्य मापदंडों $\theta$ के साथ एक क्वांटम सर्किट है, और $|\Psi_0\rangle$ एक प्रारंभिक इनपुट अवस्था है, जो पारंपरिक रूप से $|0\rangle^{\otimes n}$ जैसी एक साधारण उत्पाद अवस्था है। एक शास्त्रीय अनुकूलक फिर $E(\theta)$ को न्यूनतम करने के लिए पुनरावृत्त रूप से $\theta$ को समायोजित करता है।

पिछली VQA दृष्टिकोणों की मौलिक सीमा, या "दर्द बिंदु," "अभिव्यक्ति क्षमता" (राज्यों की सीमा जिसे एक सर्किट उत्पन्न कर सकता है) और "प्रशिक्षण क्षमता" (मापदंडों को कितनी आसानी से अनुकूलित किया जा सकता है) के बीच एक व्यापार-बंद है। गहरे, अधिक अभिव्यंजक सर्किट सैद्धांतिक रूप से क्वांटम राज्यों की एक विस्तृत श्रृंखला तक पहुंच सकते हैं, लेकिन वे शोर संचय और कुख्यात "बंजर पठार" समस्या के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं, जहां अनुकूलन परिदृश्य अत्यंत सपाट हो जाता है, जिससे प्रशिक्षण असंभव हो जाता है। इसके विपरीत, उथले सर्किट अधिक प्रशिक्षण योग्य और शोर के प्रति कम प्रवण होते हैं, लेकिन उनमें अक्सर "अपर्याप्त पहुंच योग्य सेट" होता है - जिसका अर्थ है कि लक्ष्य क्वांटम अवस्था $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ बस उन राज्यों में से नहीं है जो सर्किट उत्पन्न कर सकता है, भले ही मापदंडों $\theta$ को कितनी भी पूरी तरह से ट्यून किया गया हो।

ऐतिहासिक रूप से, VQAs को बेहतर बनाने के लिए अधिकांश शोध प्रयासों ने लगभग विशेष रूप से बेहतर एन्सेटेट सर्किट $U(\theta)$ डिजाइन करने पर ध्यान केंद्रित किया है। रणनीतियों में हार्डवेयर-कुशल एन्सेटेट (HEA), हैमिल्टनियन वेरिएशनल एन्सेटेट (HVA), और अनुकूली सर्किट, दूसरों के बीच शामिल हैं। हालांकि, प्रारंभिक इनपुट अवस्था $|\Psi_0\rangle$ की भूमिका पहुंच योग्य सेट को निर्धारित करने में तुलनात्मक रूप से कम ध्यान प्राप्त किया है। इस चूक का मतलब था कि एक अच्छी तरह से डिजाइन किए गए सर्किट $U(\theta)$ के साथ भी, यदि लक्ष्य अवस्था निश्चित इनपुट अवस्था द्वारा परिभाषित पहुंच योग्य सेट के बाहर थी, तो एल्गोरिथम अनिवार्य रूप से एक उप-इष्टतम सन्निकटन में परिवर्तित हो जाएगा। यह पत्र इनपुट-स्टेट डिज़ाइन पर ध्यान केंद्रित करके इस समस्या का समाधान करना चाहता है, जिससे सर्किट की गहराई या पैरामीटर गणना को बढ़ाए बिना पहुंच योग्य सेट को बढ़ाया जा सके, जो मौजूदा सर्किट डिज़ाइन रणनीतियों के लिए एक शक्तिशाली पूरक प्रदान करता है।

सहज डोमेन शब्द

1. वेरिएशननल क्वांटम एल्गोरिदम (VQAs): कल्पना करें कि आप एक नए, कुछ हद तक नाजुक ओवन का उपयोग करके एक जटिल व्यंजन के लिए सबसे अच्छी रेसिपी खोजने की कोशिश कर रहे हैं। एक VQA "स्मार्ट ट्रायल-एंड-एरर" प्रक्रिया की तरह है: आप एक बुनियादी रेसिपी (प्रारंभिक सेटिंग्स के साथ क्वांटम सर्किट) से शुरू करते हैं, इसे बेक करते हैं, परिणाम का स्वाद लेते हैं (लागत फ़ंक्शन को मापते हैं), और फिर स्वाद के आधार पर रेसिपी की सेटिंग्स (सर्किट पैरामीटर) को समायोजित करते हैं। आप इस चक्र को तब तक दोहराते हैं जब तक कि व्यंजन आपके ओवन की अनुमति के अनुसार उत्तम न हो जाए।
2. नॉइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) डिवाइस: ये एक सुपर-फास्ट, जटिल कैलकुलेटर के शुरुआती प्रोटोटाइप की तरह हैं। वे अद्भुत गणनाएँ कर सकते हैं जो नियमित कैलकुलेटर नहीं कर सकते, लेकिन वे अभी भी थोड़े बग़ी हैं, छोटी त्रुटियाँ करते हैं, और त्रुटियों के ढेर लगने से पहले केवल सीमित संख्या में चरणों को संभाल सकते हैं। ये आज हमारे पास उपलब्ध क्वांटम कंप्यूटर हैं, इससे पहले कि हमारे पास पूरी तरह से त्रुटि-सुधारित, "दोष-सहिष्णु" मशीनें हों।
3. बंजर पठार: कल्पना करें कि आप एक विशाल, सपाट रेगिस्तान में खो गए हैं, सबसे निचले बिंदु को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। जहाँ भी आप देखते हैं, भूभाग पूरी तरह से समतल लगता है, जिससे यह बताना असंभव हो जाता है कि कौन सी दिशा नीचे की ओर जाती है। VQAs में, यह एक अनुकूलन समस्या का वर्णन करता है जहाँ संभावित समाधानों का "परिदृश्य" इतना सपाट हो जाता है कि शास्त्रीय अनुकूलक किसी भी ग्रेडिएंट का पालन नहीं कर पाता है, प्रभावी रूप से फंस जाता है और एल्गोरिथम को सर्वोत्तम मापदंडों को खोजने से रोकता है।
4. पहुंच योग्य सेट: इसे एक विशिष्ट खाना पकाने की प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न सभी संभावित परिणामों के "मेनू" के रूप में सोचें, जो निश्चित सामग्री और एक विशेष खाना पकाने की विधि के साथ दी गई है। यदि वांछित परिणाम (जैसे, पूरी तरह से पके हुए केक) उस मेनू पर नहीं है, तो आप इसे नहीं बना सकते, चाहे आप ओवन के तापमान या समय को कितना भी ठीक करें। VQAs में, यह सभी क्वांटम राज्यों का संग्रह है जो एक दिया गया क्वांटम सर्किट उत्पन्न कर सकता है।
5. एन्सेटेट: यह एक क्वांटम सर्किट के लिए "टेम्पलेट" या "ब्लूप्रिंट" है। यह क्वांटम गेट्स और ऑपरेशंस की सामान्य संरचना को परिभाषित करता है, लेकिन समायोज्य "नॉब्स" (मापदंडों) के साथ जिन्हें ट्यून किया जा सकता है। विभिन्न एन्सेटेट डिज़ाइन विभिन्न प्रकार के इंजनों की तरह हैं - कुछ निश्चित कार्यों के लिए अधिक कुशल होते हैं, कुछ अधिक शक्तिशाली होते हैं, लेकिन सभी के पास समायोज्य भाग होते हैं।

संकेतन तालिका

संकेतन	विवरण
$|\Psi_{\text{tar}}\rangle$	लक्ष्य क्वांटम अवस्था, जिसे VQA अनुमानित करने का लक्ष्य रखता है (जैसे, हैमिल्टनियन की जमीनी अवस्था)।
$H$	क्वांटम प्रणाली का अवलोकन योग्य या हैमिल्टनियन, जिसका प्रत्याशा मान न्यूनतम किया जाता है।
$|\Psi(\theta)\rangle$	एन्सेटेट सर्किट $U(\theta)$ द्वारा उत्पन्न पैरामीट्रिक क्वांटम अवस्था।
$U(\theta)$	एकात्मक एन्सेटेट सर्किट, ट्यून करने योग्य मापदंडों $\theta$ के साथ क्वांटम गेट्स का एक क्रम।
$|\Psi_0\rangle$	एन्सेटेट सर्किट के लिए प्रारंभिक इनपुट अवस्था, आमतौर पर $|0\rangle^{\otimes n}$ जैसी एक साधारण उत्पाद अवस्था।
$E(\theta)$	लागत फ़ंक्शन, जिसे इष्टतम मापदंडों को खोजने के लिए एक शास्त्रीय अनुकूलक द्वारा न्यूनतम किया जाता है।
$\theta$	एन्सेटेट सर्किट $U(\theta)$ के लिए ट्यून करने योग्य मापदंडों का एक वेक्टर।
$\theta_{\text{opt}}$	लागत फ़ंक्शन $E(\theta)$ को न्यूनतम करके पाए गए इष्टतम मापदंड।
$V(\gamma)$	एनकोडर सर्किट, एक अतिरिक्त पैरामीट्रिक सर्किट जिसका उपयोग डिज़ाइन किए गए इनपुट स्टेट को तैयार करने के लिए किया जाता है।
$|\Psi_0(\gamma)\rangle$	डिज़ाइन किया गया इनपुट स्टेट, उम्मीदवार राज्यों का एक सुपरपोज़िशन, एनकोडर $V(\gamma)$ द्वारा तैयार किया गया।
$\gamma$	एनकोडर सर्किट $V(\gamma)$ के लिए ट्यून करने योग्य मापदंडों का एक वेक्टर।
$F$	फिडेलिटी, उत्पन्न क्वांटम अवस्था लक्ष्य अवस्था के कितनी करीब है इसका एक माप, जिसे $F = |\langle\Psi|\Psi_{\text{tar}}\rangle|^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$m$	डिज़ाइन किए गए इनपुट स्टेट के निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले परस्पर लंबवत राज्यों की संख्या।
$M$	प्री-सिलेक्शन चरण के दौरान नमूना किए गए कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों की कुल संख्या।
$n$	क्वांटम प्रणाली में क्यूबिट्स की संख्या।

समस्या परिभाषा और बाधाएँ

मुख्य समस्या सूत्रीकरण और दुविधा

वेरिएशननल क्वांटम एल्गोरिदम (VQAs) के क्षेत्र में, इस पत्र द्वारा संबोधित मौलिक समस्या लक्ष्य क्वांटम राज्यों की सीमित "पहुंच क्षमता" से संबंधित है।

इनपुट/वर्तमान स्थिति: एक VQA के लिए शुरुआती बिंदु आमतौर पर एक पैरामीट्रिक क्वांटम अवस्था $|\Psi(\theta)\rangle = U(\theta)|\Psi_0\rangle$ होता है। यहाँ, $U(\theta)$ ट्यून करने योग्य मापदंडों $\theta$ के साथ एक एकात्मक क्वांटम सर्किट का प्रतिनिधित्व करता है, और $|\Psi_0\rangle$ एक सरल, अक्सर निश्चित, प्रारंभिक इनपुट अवस्था है (जैसे, कम्प्यूटेशनल आधार अवस्था $|0\rangle^{\otimes n}$)। उद्देश्य लागत फ़ंक्शन को न्यूनतम करके मापदंडों $\theta_{\text{opt}}$ का एक इष्टतम सेट खोजना है, जैसे कि परिणामी अवस्था $|\Psi(\theta_{\text{opt}})\rangle$ एक वांछित लक्ष्य क्वांटम अवस्था $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ का बारीकी से अनुमान लगाती है। उदाहरण के लिए, वेरिएशननल क्वांटम आइगेनसॉल्वर (VQE) में, $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ एक दिए गए हैमिल्टनियन $H$ की जमीनी अवस्था है।

वांछित अंतिम बिंदु/लक्ष्य अवस्था: अंतिम लक्ष्य लक्ष्य अवस्था $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ के उच्च फिडेलिटी सन्निकटन को प्राप्त करना है, जिसका अर्थ है कि $|\langle\Psi_{\text{tar}}|\Psi(\theta_{\text{opt}})\rangle|^2$ 1 के करीब होना चाहिए। इसका तात्पर्य है कि लक्ष्य अवस्था एन्सेटेट $U(\theta)$ द्वारा इनपुट अवस्था $|\Psi_0\rangle$ से उत्पन्न राज्यों के "पहुंच योग्य सेट" के भीतर होनी चाहिए।

लुप्त कड़ी/गणितीय अंतर: महत्वपूर्ण लुप्त कड़ी यह है कि लक्ष्य अवस्था $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ एक निश्चित, सरल इनपुट अवस्था $|\Psi_0\rangle$ (जैसे $|0\rangle^{\otimes n}$) से शुरू होने पर $U(\theta)$ के पहुंच योग्य सेट के भीतर नहीं हो सकती है। यदि $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ इस सेट के बाहर है, तो सर्किट मापदंडों $\theta$ के किसी भी अनुकूलन से VQA इसे प्राप्त नहीं कर पाएगा, जिससे कम्प्यूटेशनल प्रयास की परवाह किए बिना उप-इष्टतम परिणाम प्राप्त होंगे। यह पत्र एक डिज़ाइन किए गए इनपुट स्टेट $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ को पेश करके इस अंतर को पाटने का लक्ष्य रखता है, जिसे एक अतिरिक्त पैरामीट्रिक एनकोडर सर्किट $V(\gamma)$ द्वारा तैयार किया गया है, जैसे कि $U(\theta)|\Psi_0(\gamma)\rangle$ का पहुंच योग्य सेट $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ को शामिल करने के लिए संशोधित किया गया है। गणितीय रूप से, यह पत्र $\theta$ और $\gamma$ के संयुक्त अनुकूलन द्वारा फिडेलिटी $F = |\langle\Psi_{\text{tar}}|U(\theta)V(\gamma)|0\rangle^{\otimes n}|^2$ को अधिकतम करना चाहता है। प्रमेय 1 एक कठोर नींव प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि लंबवत इनपुट राज्यों के एक रैखिक सुपरपोज़िशन व्यवस्थित रूप से प्राप्त फिडेलिटी को बढ़ा सकता है।

दुविधा: VQAs में मुख्य दुविधा, जिसने पिछले शोधकर्ताओं को फंसाया है, अभिव्यक्ति क्षमता और प्रशिक्षण क्षमता के बीच दर्दनाक व्यापार-बंद है।
* अभिव्यक्ति क्षमता: गहरे क्वांटम सर्किट (अधिक परतों या गेट्स वाले) आम तौर पर अधिक अभिव्यंजक होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे, सिद्धांत रूप में, क्वांटम राज्यों के एक बड़े सेट तक पहुंच सकते हैं, जिसमें संभावित रूप से लक्ष्य अवस्था भी शामिल है।
* प्रशिक्षण क्षमता: हालांकि, सर्किट की गहराई बढ़ाने से अक्सर "बंजर पठार" होते हैं, जहां लागत फ़ंक्शन के ग्रेडिएंट्स घातीय रूप से छोटे हो जाते हैं, जिससे शास्त्रीय अनुकूलन अत्यंत कठिन या असंभव हो जाता है। यह एल्गोरिथम को इष्टतम मापदंडों को खोजने से रोकता है।
* इसके विपरीत, उथले सर्किट अधिक प्रशिक्षण योग्य होते हैं और बंजर पठारों के प्रति कम संवेदनशील होते हैं, लेकिन उनमें अक्सर अपर्याप्त पहुंच क्षमता होती है, जिसका अर्थ है कि उनकी सीमित अभिव्यक्ति क्षमता उन्हें जटिल लक्ष्य राज्यों का अनुमान लगाने से रोकती है।

पिछले प्रयासों ने मुख्य रूप से एकात्मक सर्किट $U(\theta)$ को डिजाइन करने पर ध्यान केंद्रित किया। यह पत्र इनपुट अवस्था $|\Psi_0\rangle$ पर ध्यान केंद्रित करके दुविधा को हल करने का प्रस्ताव करता है, जिसका लक्ष्य सर्किट की गहराई को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाए बिना या बंजर पठारों से पीड़ित हुए बिना पहुंच क्षमता को बढ़ाना है।

बाधाएँ और विफलता मोड

निकट-अवधि के क्वांटम कंप्यूटिंग (NISQ डिवाइस) से संबंधित कई कठोर, यथार्थवादी बाधाओं के कारण VQA पहुंच क्षमता को बढ़ाने की समस्या अविश्वसनीय रूप से कठिन है:

1. हार्डवेयर मेमोरी सीमाएँ और शोर संचय (भौतिक/कम्प्यूटेशनल): निकट-अवधि के क्वांटम कंप्यूटर (NISQ डिवाइस) में सीमित क्यूबिट गणना, कम सुसंगतता समय होता है, और वे शोर के प्रति संवेदनशील होते हैं। गहरे सर्किट, हालांकि संभावित रूप से अधिक अभिव्यंजक होते हैं, अधिक शोर जमा करते हैं, जिससे त्रुटियाँ होती हैं और आउटपुट अविश्वसनीय हो जाता है। यह निष्पादित किए जा सकने वाले क्वांटम सर्किट की व्यावहारिक गहराई पर एक सख्त भौतिक सीमा लगाता है।

2. बंजर पठार (कम्प्यूटेशनल/गणितीय): यह एक मौलिक गणितीय बाधा है जहां गहरे, यादृच्छिक रूप से आरम्भ किए गए VQAs के लिए लागत फ़ंक्शन परिदृश्य अत्यंत सपाट हो जाता है। ग्रेडिएंट्स क्यूबिट्स की संख्या के साथ घातीय रूप से लुप्त हो जाते हैं, जिससे शास्त्रीय अनुकूलन अप्रभावी हो जाता है और वास्तविक न्यूनतम तक अभिसरण को रोकता है। यह घटना अभिव्यंजक सर्किट की प्रशिक्षण क्षमता को गंभीर रूप से सीमित करती है।

3. निश्चित इनपुट राज्यों की सीमित पहुंच क्षमता (गणितीय): एक दिए गए एन्सेटेट $U(\theta)$ और एक सरल, निश्चित इनपुट अवस्था $|\Psi_0\rangle$ (जैसे $|0\rangle^{\otimes n}$) के लिए, पहुंच योग्य राज्यों का सेट बहुत छोटा हो सकता है। यदि लक्ष्य अवस्था $|\Psi_{\text{tar}}\rangle$ इस "पहुंच योग्य सेट" के बाहर स्थित है, तो $U(\theta)$ के पैरामीटर ट्यूनिंग की कोई भी मात्रा वांछित फिडेलिटी प्राप्त नहीं कर सकती है। एन्सेटेट अवस्था $|\Psi(\theta)\rangle$ का पहुंच योग्य सेट स्वाभाविक रूप से प्रारंभिक अवस्था द्वारा बाधित होता है।

4. इनपुट-स्टेट डिज़ाइन की कम्प्यूटेशनल लागत (कम्प्यूटेशनल/डेटा-संचालित): यद्यपि प्रस्तावित इनपुट-स्टेट डिज़ाइन एक समाधान प्रदान करता है, यह अपने स्वयं के ओवरहेड का परिचय देता है:

   • नमूना बजट ($M$): विधि को इनपुट सुपरपोज़िशन के लिए आशाजनक उम्मीदवारों की पहचान करने के लिए $M$ कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों का नमूना लेने की आवश्यकता होती है। यदि $M$ बहुत बड़ा है (जैसे, $n$ क्यूबिट्स के लिए $2^n$), तो यह प्री-सिलेक्शन चरण क्लासिकली इंट्रैक्टेबल हो जाता है, खासकर बड़े सिस्टम के लिए। पत्र का लक्ष्य $M$ को मध्यम रखना है।
   • एनकोडर सर्किट गहराई ($m$): एनकोडर $V(\gamma)$ कुल सर्किट गहराई में जुड़ता है। हालांकि कम-गहराई के लिए डिज़ाइन किया गया है, $m$ (सुपरपोज़िशन में चयनित आधार राज्यों की संख्या) को बढ़ाने से $V(\gamma)$ की जटिलता और गेट लागत बढ़ जाती है, इस प्रकार अधिक क्वांटम संसाधनों की खपत होती है।
   • शास्त्रीय अनुकूलन ओवरहेड: दोनों एन्सेटेट मापदंडों $\theta$ और एनकोडर मापदंडों $\gamma$ के संयुक्त अनुकूलन से शास्त्रीय कम्प्यूटेशनल लागत बढ़ जाती है। पत्र संयुक्त प्रशिक्षण के लिए अनुकूलन पुनरावृत्तियों की संख्या को प्रतिबंधित करके इसे कम करने का प्रयास करता है।

5. हार्डवेयर-कुशल एन्सेटेट्स का अक्षम पैरामीटराइजेशन (एल्गोरिथम): हार्डवेयर-कुशल एन्सेटेट्स (HEA) विभिन्न हार्डवेयर प्लेटफार्मों के लिए लचीले और अनुकूलनीय होते हैं, लेकिन उनमें अक्सर समस्या-विशिष्ट संरचना की कमी होती है। यह अक्षम पैरामीटराइजेशन का कारण बन सकता है, जिससे वे बंजर पठारों जैसी अनुकूलन चुनौतियों के प्रति संवेदनशील हो जाते हैं, खासकर गहरे विन्यासों में।

Figure 1. Representative variational quantum ansatz. (a) Hardware-efficient ansatz (HEA). Each layer consists of alternating single-qubit rotations Ry and Rz followed by a chain of CZ gates. The dashed box indicates one circuit layer, which is repeated p times. (b) General Hamiltonian variational ansatz (HVA). Each layer contains a product of unitaries Qq k=1 e−iθkHk, where {Hk} are problem-specific Hamiltonian terms. (c-e) Examples of HVA design for three different models. (c) For the transverse-field Ising model. An initial layer of Hadamard gates H prepares |+⟩⊗n. UZZ(θ) = e−i(θ/2) σz i σz j represents the two-qubit gate for ZZ interaction, while Rx(θ) = e−iθ σx i represents the single- qubit X-rotation. (d) For the cluster-Ising model. UZXZ(θ) = e−i(θ/2) σz i σx j σz k is a three-qubit gate, and UXX(θ) = e−i(θ/2) σx i σx j is a two-qubit gate. (e) For the Fermi-Hubbard model. The upper (lower) register encodes spin-↑(spin- ↓). On-site interactions between the two spins at site i are implemented as UZZ(θ). Hopping terms on odd and even bonds are realized by UXY (θ) = e−i(θ/2) (σx i σx i+1+σy i σy i+1)

यह दृष्टिकोण क्यों

चुनाव की अनिवार्यता

इस कार्य द्वारा संबोधित मुख्य समस्या सर्किट अभिव्यक्ति क्षमता और प्रशिक्षण क्षमता के बीच वेरिएशननल क्वांटम एल्गोरिदम (VQAs) में मौलिक व्यापार-बंद है। पारंपरिक "अत्याधुनिक" (SOTA) विधियाँ मुख्य रूप से स्वयं एकात्मक सर्किट $U(\theta)$ को डिजाइन करने पर ध्यान केंद्रित करती हैं। हालांकि, जैसा कि लेखकों ने स्पष्ट रूप से व्यक्त किया है, $U(\theta)$ की अभिव्यक्ति क्षमता को गहरे सर्किट का उपयोग करके बढ़ाने से शोर संचय और कुख्यात बंजर पठार समस्या जैसी महत्वपूर्ण चुनौतियाँ उत्पन्न होती हैं, जो शास्त्रीय अनुकूलन (सार, पृष्ठ 2; परिचय, पृष्ठ 4) में बाधा डालती है। इसके विपरीत, उथले सर्किट, प्रशिक्षण योग्य और शोर के प्रति कम संवेदनशील होने के बावजूद, अक्सर एक अपर्याप्त "पहुंच योग्य सेट" रखते हैं, जिसका अर्थ है कि वांछित लक्ष्य अवस्था $|\Psi_{tar}\rangle$ बस सुलभ नहीं हो सकती है, भले ही सर्किट मापदंडों $\theta$ को कितनी भी अच्छी तरह से अनुकूलित किया गया हो (पृष्ठ 4, चित्र 2)।

लेखकों ने इन पारंपरिक सर्किट-केंद्रित दृष्टिकोणों की अपर्याप्तता को तब महसूस किया जब उन्होंने देखा कि व्यापक अनुकूलन के बाद भी, मौजूदा VQA एन्सेटेट्स ने 0.95 के आसपास फिडेलिटी पर पठार बना लिया। इस बिंदु से परे, सर्किट की गहराई या प्रशिक्षण पुनरावृत्तियों को बढ़ाने से अंतर्निहित एन्सेटेट सीमाओं या बंजर पठारों की शुरुआत के कारण बहुत कम या कोई सुधार नहीं हुआ (पृष्ठ 9)। इस महत्वपूर्ण अवलोकन ने उजागर किया कि समस्या केवल यह नहीं थी कि अवस्था को कैसे विकसित किया जाए, बल्कि कहाँ से विकास शुरू किया जाए। यदि लक्ष्य अवस्था $|0\rangle^{\otimes n}$ जैसे मानक इनपुट से शुरू होने पर $U(\theta)$ के प्रारंभिक पहुंच योग्य सेट के बाहर स्थित है, तो कोई भी सर्किट अनुकूलन इसे कभी भी प्राप्त नहीं कर पाएगा (पृष्ठ 6)। इस अहसास ने इनपुट-स्टेट डिज़ाइन को एकमात्र व्यवहार्य समाधान बना दिया, जिससे गहरी, अधिक समस्याग्रस्त सर्किट का सहारा लिए बिना या एन्सेटेट संरचना को मौलिक रूप से बदले बिना पहुंच क्षमता को बढ़ाया जा सके। यह दृष्टिकोण निश्चित सर्किट गहराई और संरचना के तहत अभिव्यक्ति क्षमता की बाधाओं को दूर करने के साधन के रूप में अनिवार्य हो गया (पृष्ठ 9)।

तुलनात्मक श्रेष्ठता

यह विधि मौजूदा VQA एन्सेटेट्स को प्रतिस्थापित करके नहीं, बल्कि उनके प्रदर्शन को बढ़ाने वाला एक शक्तिशाली, पूरक ढांचा प्रदान करके गुणात्मक श्रेष्ठता प्रदर्शित करती है। इसका संरचनात्मक लाभ किसी भी दिए गए VQA एन्सेटेट $U(\theta)$ के पहुंच योग्य सेट को नया आकार देने की क्षमता में निहित है, बजाय इसके कि केवल एन्सेटेट सर्किट को स्वयं संशोधित किया जाए, एक अधिक उपयुक्त इनपुट अवस्था $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ को डिजाइन करके। यह एक कम-गहराई वाले "एनकोडर" सर्किट $V(\gamma)$ के माध्यम से प्राप्त किया जाता है जो उम्मीदवार राज्यों का एक सुपरपोज़िशन तैयार करता है (पृष्ठ 4, चित्र 2)।

मुख्य लाभ हैं:
1. बढ़ी हुई पहुंच क्षमता और सटीकता: एक सावधानीपूर्वक डिज़ाइन किए गए इनपुट स्टेट से शुरू करके, विधि यह सुनिश्चित करती है कि लक्ष्य स्टेट मौजूदा $U(\theta)$ सर्किट के लिए सुलभ हो जाए। यह समान गेट बजट पर भी, मानक विधियों की तुलना में लगातार उच्च फिडेलिटी और अधिक सटीक जमीनी ऊर्जा अनुमानों की ओर ले जाता है (सार, पृष्ठ 2; पृष्ठ 9)। उदाहरण के लिए, 1D ट्रांसवर्स-फील्ड आइज़िंग मॉडल में, विधि ने केवल 8 परतों के साथ 0.99 फिडेलिटी हासिल की, जो एक पारंपरिक हार्डवेयर-कुशल एन्सेटेट (HEA) द्वारा आवश्यक 12 परतों की तुलना में 33% गहराई में कमी है (पृष्ठ 4, पृष्ठ 10)। इसी तरह के लाभ 2D आइज़िंग और क्लस्टर-आइज़िंग मॉडल (पृष्ठ 4) के लिए देखे जाते हैं।
2. संसाधन दक्षता: इनपुट-स्टेट डिज़ाइन क्वांटम और शास्त्रीय दोनों संसाधनों को काफी कम करता है। यह आवश्यक गेट गणना (जैसे, 0.99 फिडेलिटी तक पहुंचने के लिए HEA के लिए 144 बनाम 112 CNOT गेट) और अनुकूलन प्रयास (HEA के लिए 1500 बनाम 1100 कदम) को कम करता है (पृष्ठ 11)। एनकोडर $V(\gamma)$ स्वयं एक कम-गहराई वाला सर्किट है जिसकी गेट लागत बेसलाइन एन्सेटेट की एक परत के बराबर है, यह सुनिश्चित करता है कि समग्र ओवरहेड न्यूनतम और प्रबंधनीय है (पृष्ठ 6, पृष्ठ 10, पृष्ठ 17)।
3. व्यापक प्रयोज्यता: चूंकि विधि इनपुट अवस्था को संशोधित करती है और पैरामीट्रिक सर्किट $U(\theta)$ को अपरिवर्तित रखती है, यह HEA और हैमिल्टनियन वेरिएशनल एन्सेटेट (HVA) सहित विभिन्न एन्सेटेट परिवारों में व्यापक रूप से लागू होती है (पृष्ठ 4)। यह सार्वभौमिकता इसे VQA प्रदर्शन को बेहतर बनाने के लिए एक बहुमुखी उपकरण बनाती है।
4. सैद्धांतिक आधार: प्रमेय 1 एक कठोर गणितीय आधार प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि लंबवत इनपुट राज्यों के एक रैखिक संयोजन की प्राप्त जमीनी-अवस्था फिडेलिटी व्यक्तिगत फिडेलिटी के योग से संबंधित है, जो लक्ष्य के साथ बड़े ओवरलैप वाले उम्मीदवार राज्यों के चयन की रणनीति को सही ठहराता है (पृष्ठ 6-7)।

पत्र स्पष्ट रूप से उच्च-आयामी शोर को बेहतर ढंग से संभालने या $O(N^2)$ से $O(N)$ तक मेमोरी जटिलता को कम करने पर चर्चा नहीं करता है। इसकी श्रेष्ठता मुख्य रूप से सख्त संसाधन बाधाओं के तहत अभिव्यक्ति क्षमता और पहुंच क्षमता में सुधार में है, जिसके परिणामस्वरूप कम क्वांटम और शास्त्रीय संसाधनों के साथ उच्च फिडेलिटी प्राप्त होती है।

बाधाओं के साथ संरेखण

चुनी गई इनपुट-स्टेट डिज़ाइन विधि निकट-अवधि के क्वांटम कंप्यूटिंग की कठोर आवश्यकताओं, विशेष रूप से नॉइज़ी इंटरमीडिएट-स्केल क्वांटम (NISQ) उपकरणों से संबंधित आवश्यकताओं के साथ पूरी तरह से संरेखित होती है। "समस्या की बाधाओं और समाधान के अद्वितीय गुणों के बीच विवाह" कई तरीकों से स्पष्ट है:

1. बाधा: सीमित सर्किट गहराई और शोर संचय: NISQ डिवाइस शोर के प्रति अत्यधिक संवेदनशील होते हैं, जो सर्किट की गहराई बढ़ने के साथ जमा होता है। गहरी सर्किट बंजर पठारों को भी बढ़ाते हैं, जिससे अनुकूलन मुश्किल हो जाता है।

   • संरेखण: यह विधि सीधे गहरे सर्किट से बचकर इस समस्या का समाधान करती है। $U(\theta)$ की गहराई बढ़ाने के बजाय, यह पहुंच योग्य सेट को स्थानांतरित करने के लिए इनपुट अवस्था को संशोधित करती है, जिससे उथले सर्किट उच्च फिडेलिटी प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह 8 परतों के साथ 0.99 फिडेलिटी प्राप्त करता है जहां पारंपरिक HEA को 12 परतों की आवश्यकता होती है, जो गहराई में एक महत्वपूर्ण कमी का प्रतिनिधित्व करता है (पृष्ठ 4, पृष्ठ 10)। एनकोडर स्वयं कम-गहराई वाला है, यह सुनिश्चित करता है कि यह समग्र सर्किट गहराई को केवल मामूली रूप से बढ़ाता है (पृष्ठ 6)।

2. बाधा: निश्चित गेट बजट और संसाधन सीमाएँ: व्यावहारिक NISQ अनुप्रयोगों के लिए क्वांटम गेट्स और शास्त्रीय अनुकूलन चरणों के सीमित बजट के भीतर संचालित होने वाले समाधानों की आवश्यकता होती है।

   • संरेखण: इनपुट-स्टेट डिज़ाइन स्वाभाविक रूप से संसाधन-कुशल है। यह लक्ष्य फिडेलिटी प्राप्त करने के लिए आवश्यक कुल गेट गणना और अनुकूलन चरणों को कम करता है (पृष्ठ 11)। एनकोडर की गेट लागत बेसलाइन एन्सेटेट की एक परत के बराबर रखी जाती है, यह सुनिश्चित करता है कि अतिरिक्त क्वांटम ओवरहेड न्यूनतम और नियंत्रित है (पृष्ठ 10, पृष्ठ 17)। यह "स्केलेबल और संसाधन-कुशल फिडेलिटी वृद्धि" (पृष्ठ 9) की अनुमति देता है।

3. बाधा: उथले सर्किट की अपर्याप्त पहुंच क्षमता: उथले VQAs की एक प्रमुख सीमा यह है कि लक्ष्य अवस्था $|0\rangle^{\otimes n}$ जैसी मानक इनपुट अवस्था से पहुंच योग्य राज्यों के सेट के बाहर स्थित हो सकती है।

   • संरेखण: यह वह केंद्रीय समस्या है जिसे विधि हल करती है। चयनित आधार राज्यों के सुपरपोज़िशन के रूप में एक सावधानीपूर्वक डिज़ाइन किए गए इनपुट स्टेट $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ को तैयार करके, विधि निश्चित एन्सेटेट $U(\theta)$ के पहुंच योग्य सेट को पुन: कॉन्फ़िगर करती है ताकि लक्ष्य जमीनी अवस्था को शामिल किया जा सके (पृष्ठ 9, चित्र 2)। यह सुनिश्चित करता है कि एक उथला $U(\theta)$ भी अब वांछित अवस्था तक पहुंच सकता है, जिससे सर्किट जटिलता को बढ़ाए बिना अभिव्यक्ति क्षमता की बाधा को दूर किया जा सके।

संक्षेप में, यह विधि NISQ की "कठोर आवश्यकताओं" का सम्मान करती है, अधिक क्वांटम संसाधनों की मांग करके उन्हें दूर करने की कोशिश करने के बजाय, उथले सर्किट और निश्चित गेट बजट की सीमाओं के भीतर काम करके। यह क्वांटम विकास के शुरुआती बिंदु को अनुकूलित करके एक चतुर वर्कअराउंड प्रदान करता है।

विकल्पों का अस्वीकरण

पत्र का विकल्पों का अस्वीकरण मुख्य रूप से मौजूदा VQA सुधार रणनीतियों की सीमाओं पर ध्यान केंद्रित करके एक अंतर्निहित है, बजाय इसके कि पूरी तरह से अलग क्वांटम एल्गोरिदम जैसे GANs या प्रसार मॉडल के साथ प्रत्यक्ष तुलना की जाए। लेखकों ने इस बात पर प्रकाश डाला कि "VQA को बेहतर बनाने के अधिकांश प्रयास $U(\theta)$ के लिए सर्किट डिजाइन पर केंद्रित रहे हैं" (पृष्ठ 4)। ये सर्किट-केंद्रित दृष्टिकोण, हालांकि मूल्यवान हैं, निश्चित संसाधन बाधाओं के तहत पहुंच क्षमता को बढ़ाने की विशिष्ट समस्या के लिए अपर्याप्त दिखाए गए हैं।

इन सर्किट-केवल विकल्पों को अस्वीकार करने का तर्क इस प्रकार है:
1. अभिव्यक्ति क्षमता और प्रशिक्षण क्षमता के बीच व्यापार-बंद: सर्किट को गहरा बनाकर $U(\theta)$ की अभिव्यक्ति क्षमता को बढ़ाना (जैसे, HEA या HVA में अधिक परतों का उपयोग करके) शोर संचय और बंजर पठारों की ओर ले जाता है, जिससे अनुकूलन प्रक्रिया मुश्किल या असंभव हो जाती है (पृष्ठ 4)। इसका मतलब है कि यद्यपि गहरे सर्किट सैद्धांतिक रूप से अधिक राज्यों तक पहुंच सकते हैं, वे व्यवहार में अप्रशिक्षित हो जाते हैं।
2. उथले सर्किट की सीमित पहुंच क्षमता: इसके विपरीत, प्रशिक्षण क्षमता बनाए रखने और शोर को कम करने के लिए सर्किट को उथला रखने से अक्सर लक्ष्य अवस्था एन्सेटेट की पहुंच योग्य सेट के बाहर हो जाती है (पृष्ठ 4)। यह मौलिक सीमा है जिसे इनपुट-स्टेट डिज़ाइन सीधे संबोधित करता है।
3. निश्चित गेट बजट के लिए अक्षमता: पत्र स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है कि पारंपरिक HEA या HVA, समान गेट बजट (जैसे, कुल परतें या CNOT गेट) तक सीमित होने पर, प्रस्तावित इनपुट-स्टेट डिज़ाइन विधि की तुलना में कम फिडेलिटी प्राप्त करते हैं (पृष्ठ 4, पृष्ठ 10, पृष्ठ 11)। इसका तात्पर्य है कि केवल $U(\theta)$ को अनुकूलित करना, इनपुट अवस्था पर विचार किए बिना, उच्च फिडेलिटी प्राप्त करने के लिए संसाधन उपयोग के मामले में कम कुशल है।

इसलिए, पत्र यह तर्क नहीं देता है कि अन्य दृष्टिकोण पूरी तरह से विफल होते हैं, बल्कि यह कि वे निश्चित संसाधन बजट के तहत VQA पहुंच क्षमता को बेहतर बनाने के लिए अपर्याप्त या उप-इष्टतम हैं। इनपुट-स्टेट डिज़ाइन को सर्किट डिज़ाइन के लिए एक आवश्यक पूरक के रूप में प्रस्तुत किया गया है, जो एक अनदेखे पहलू को संबोधित करता है जिसे पारंपरिक विधियाँ अपने आप प्रभावी ढंग से नहीं संभाल सकती हैं।

Figure 2. Reachable sets modified through input-state design. For a fixed uni- tary U(θ), a simple input state |Ψ0⟩induces a reachable set (red-shaded) that excludes the target |Ψtar⟩, causing optimization to converge to a suboptimal state |Ψ′(θ)⟩(blue path). By contrast, a designed input state |Ψ0(γ)⟩, pre- pared by the encoder V(γ), produces a different reachable set (green-shaded) that contains |Ψtar⟩, enabling the same U(θ) to reach the target (red path)

गणितीय और तार्किक तंत्र

मास्टर समीकरण

इस पत्र में प्रस्तावित उन्नत वेरिएशननल क्वांटम एल्गोरिथम (VQA) को शक्ति प्रदान करने वाला पूर्ण मुख्य समीकरण ऊर्जा न्यूनीकरण के लिए उद्देश्य फ़ंक्शन है, जिसमें वेरिएशननल एन्सेटेट और नए पेश किए गए इनपुट-स्टेट एनकोडर दोनों शामिल हैं। इस फ़ंक्शन को दोनों घटकों के मापदंडों के संबंध में संयुक्त रूप से अनुकूलित किया जाता है:

$$ E(\theta,\gamma) = \langle 0|V^\dagger(\gamma)U^\dagger(\theta) H U(\theta)V(\gamma)|0\rangle $$

पद-दर-पद विच्छेदन

आइए प्रत्येक घटक की गणितीय परिभाषा, भौतिक/तार्किक भूमिका और इसके समावेश और संचालन के पीछे के तर्क को समझने के लिए इस समीकरण का विश्लेषण करें।

• $E(\theta,\gamma)$:

  • गणितीय परिभाषा: यह पद क्वांटम अवस्था $|\Psi(\theta,\gamma)\rangle = U(\theta)V(\gamma)|0\rangle^{\otimes n}$ के संबंध में हैमिल्टनियन $H$ के प्रत्याशा मान का प्रतिनिधित्व करता है।
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: यह वेरिएशननल क्वांटम आइगेनसॉल्वर (VQE) का लागत फ़ंक्शन है। एल्गोरिथम का प्राथमिक लक्ष्य इस ऊर्जा प्रत्याशा मान को न्यूनतम करना है। क्वांटम यांत्रिकी में, हैमिल्टनियन का न्यूनतम प्रत्याशा मान प्रणाली की जमीनी अवस्था ऊर्जा से मेल खाता है, और जो अवस्था इस न्यूनतम को प्राप्त करती है वह स्वयं जमीनी अवस्था है।
  • यह ऑपरेटर क्यों? प्रत्याशा मान $\langle\Psi|H|\Psi\rangle$ क्वांटम यांत्रिकी में किसी दी गई अवस्था $|\Psi\rangle$ में एक प्रणाली की औसत ऊर्जा की गणना के लिए एक मौलिक मात्रा है। इस मान को न्यूनतम करना VQE के लिए जमीनी अवस्था को खोजने का मानक और सबसे सीधा दृष्टिकोण है।

• $|0\rangle^{\otimes n}$:

  • गणितीय परिभाषा: यह प्रारंभिक कम्प्यूटेशनल आधार अवस्था को दर्शाता है जहाँ सभी $n$ क्यूबिट्स $|0\rangle$ अवस्था में सेट होते हैं।
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: यह अधिकांश क्वांटम सर्किट के लिए मानक, आसानी से तैयार करने योग्य और असंबद्ध प्रारंभिक अवस्था है। यह एक "खाली स्लेट" के रूप में कार्य करता है जिससे सभी बाद के क्वांटम संचालन शुरू होते हैं।
  • यह ऑपरेटर क्यों? यह सबसे सरल और सबसे आम प्रारंभिक अवस्था है, जो क्वांटम कंप्यूटेशन के लिए एक सार्वभौमिक और प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य प्रारंभिक बिंदु प्रदान करती है।

• $V(\gamma)$:

  • गणितीय परिभाषा: एक पैरामीट्रिक एकात्मक ऑपरेटर, जिसे "एनकोडर" सर्किट कहा जाता है। यह प्रारंभिक अवस्था $|0\rangle^{\otimes n}$ लेता है और इसे एक डिज़ाइन किए गए इनपुट स्टेट $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ में बदल देता है। पैरामीटर $\gamma$ ट्यून करने योग्य शास्त्रीय मानों का एक सेट है जो इस सर्किट के भीतर विशिष्ट गेट्स और रोटेशन को नियंत्रित करते हैं।
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: यह ऑपरेटर इस पत्र का केंद्रीय नवाचार है। इसकी भूमिका बाद के VQA एन्सेटेट के लिए एक "स्मार्टर" या अधिक अनुकूल प्रारंभिक अवस्था तैयार करना है। इनपुट अवस्था को संशोधित करके, यह प्रभावी रूप से मुख्य एन्सेटेट द्वारा पहुंच योग्य राज्यों के सेट को नया आकार देता है, जिससे लक्ष्य अवस्था अधिक सुलभ हो जाती है। इसे दक्षता बनाए रखने के लिए एक कम-गहराई वाला सर्किट होने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
  • यह ऑपरेटर क्यों? यह एक एकात्मक ऑपरेटर है क्योंकि क्वांटम विकास को संभाव्यता को संरक्षित करने और क्वांटम यांत्रिक सिद्धांतों का पालन करने के लिए एकात्मक होना चाहिए। यह लचीले अनुकूलन और विभिन्न समस्याओं के अनुकूलन की अनुमति देने के लिए पैरामीट्रिक है, जिससे एक इनपुट अवस्था का डिज़ाइन सक्षम होता है जो समस्या के लिए तैयार की गई है।

• $U(\theta)$:

  • गणितीय परिभाषा: एक पैरामीट्रिक एकात्मक ऑपरेटर, जो "एन्सेटेट" सर्किट का प्रतिनिधित्व करता है। यह इनपुट अवस्था $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ (या पारंपरिक VQA में $|\Psi_0\rangle$) लेता है और इसे वेरिएशननल अवस्था $|\Psi(\theta,\gamma)\rangle$ में बदल देता है। पैरामीटर $\theta$ ट्यून करने योग्य शास्त्रीय मानों का एक सेट है जो इस सर्किट के भीतर गेट्स को नियंत्रित करते हैं।
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: यह प्राथमिक वेरिएशननल क्वांटम सर्किट है जो लक्ष्य क्वांटम अवस्था (जैसे, हैमिल्टनियन की जमीनी अवस्था) का अनुमान लगाने का प्रयास करता है। इसकी अभिव्यक्ति क्षमता उन क्वांटम राज्यों की सीमा को निर्धारित करती है जिन्हें यह उत्पन्न और अन्वेषण कर सकता है।
  • यह ऑपरेटर क्यों? $V(\gamma)$ की तरह, यह क्वांटम कंप्यूटर पर भौतिक प्राप्ति के लिए एकात्मक होना चाहिए। इसका पैरामीटराइजेशन लक्ष्य अवस्था का सर्वोत्तम अनुमान खोजने के लिए पुनरावृत्त अनुकूलन की अनुमति देता है। $U(\theta)$ की विशिष्ट संरचना (जैसे, हार्डवेयर-कुशल एन्सेटेट या हैमिल्टनियन वेरिएशनल एन्सेटेट) समस्या और उपलब्ध हार्डवेयर के आधार पर चुनी जाती है।

• $H$:

  • गणितीय परिभाषा: भौतिक प्रणाली का हैमिल्टनियन ऑपरेटर। यह एक हर्मिटियन ऑपरेटर है, जिसका अर्थ है $H = H^\dagger$.
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: यह ऑपरेटर क्वांटम प्रणाली की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। VQE के संदर्भ में, उद्देश्य उस क्वांटम अवस्था को खोजना है जो इस हैमिल्टनियन के प्रत्याशा मान को न्यूनतम करती है, जो प्रणाली की जमीनी अवस्था से मेल खाती है।
  • यह ऑपरेटर क्यों? हैमिल्टनियन क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक ऑपरेटर है जो एक प्रणाली की ऊर्जा और उसके समय विकास का वर्णन करता है। इसका प्रत्याशा मान वह मात्रा है जिसे VQE न्यूनतम करने का लक्ष्य रखता है।

• $U^\dagger(\theta)$:

  • गणितीय परिभाषा: एकात्मक ऑपरेटर $U(\theta)$ का हर्मिटियन संयुग्म (या सहायक)। चूंकि $U(\theta)$ एकात्मक है, $U^\dagger(\theta) = U^{-1}(\theta)$.
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: यह ऑपरेटर $U(\theta)$ द्वारा किए गए परिवर्तन को "पूर्ववत" करता है। प्रत्याशा मान में, यह $H U(\theta)V(\gamma)|0\rangle$ अवस्था पर बाईं ओर से कार्य करता है, प्रभावी रूप से इसे $V(\gamma)|0\rangle$ द्वारा परिभाषित स्थान में वापस प्रोजेक्ट करता है।
  • यह ऑपरेटर क्यों? यह ब्रा वेक्टर $\langle\Psi|$ बनाने का एक अनिवार्य हिस्सा है। यदि $|\Psi\rangle = U(\theta)V(\gamma)|0\rangle$, तो $\langle\Psi| = \langle 0|V^\dagger(\gamma)U^\dagger(\theta)$। यह प्रत्याशा मान की गणना के लिए एक गणितीय आवश्यकता है।

• $V^\dagger(\gamma)$:

  • गणितीय परिभाषा: एकात्मक ऑपरेटर $V(\gamma)$ का हर्मिटियन संयुग्म (या सहायक)। चूंकि $V(\gamma)$ एकात्मक है, $V^\dagger(\gamma) = V^{-1}(\gamma)$.
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: $U^\dagger(\theta)$ के समान, यह ऑपरेटर $V(\gamma)$ द्वारा किए गए परिवर्तन को "पूर्ववत" करता है। यह बाईं ओर से $U^\dagger(\theta) H U(\theta)V(\gamma)|0\rangle$ अवस्था पर कार्य करता है।
  • यह ऑपरेटर क्यों? यह ब्रा वेक्टर $\langle\Psi|$ के निर्माण को पूरा करता है, जिससे प्रत्याशा मान की सही गणना सुनिश्चित होती है।

• $\langle 0| \dots |0\rangle$:

  • गणितीय परिभाषा: यह अवस्था $V^\dagger(\gamma)U^\dagger(\theta) H U(\theta)V(\gamma)|0\rangle$ के प्रारंभिक अवस्था $|0\rangle^{\otimes n}$ के साथ आंतरिक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है।
  • भौतिक/तार्किक भूमिका: संपूर्ण अभिव्यक्ति $\langle 0| \dots |0\rangle$ प्रत्याशा मान की गणना करती है। क्वांटम यांत्रिकी में, अवलोकनों के प्रत्याशा मान एक अवस्था और उसके संयुग्म ट्रांसपोज़ द्वारा "सैंडविच" करके प्राप्त किए जाते हैं। इस तरह से प्रणाली की औसत ऊर्जा की गणना की जाती है।
  • यह ऑपरेटर क्यों? आंतरिक उत्पाद वह गणितीय संक्रिया है जिसका उपयोग एक क्वांटम अवस्था को दूसरी पर प्रोजेक्ट करने के लिए किया जाता है, या एक अवस्था में दूसरी अवस्था को खोजने की संभाव्यता आयाम की गणना करने के लिए किया जाता है। यहाँ, इसका उपयोग $H$ के प्रत्याशा मान की गणना के लिए किया जाता है।

• गुणा के बजाय योग क्यों? ऑपरेटर $V(\gamma)$, $U(\theta)$, $H$, $U^\dagger(\theta)$, और $V^\dagger(\gamma)$ को गुणा किया जाता है क्योंकि वे क्वांटम अवस्था पर क्रमिक संचालन का प्रतिनिधित्व करते हैं। क्वांटम यांत्रिकी में, किसी अवस्था पर कई गेट्स या ऑपरेटरों को लागू करना अनुप्रयोग के क्रम में उनके संबंधित मैट्रिसेस को गुणा करके दर्शाया जाता है। पहले, $V(\gamma)$ $|0\rangle^{\otimes n}$ पर कार्य करता है, फिर $U(\theta)$ परिणामी अवस्था पर कार्य करता है, फिर $H$ उस अवस्था पर कार्य करता है, और अंत में ब्रा वेक्टर $\langle 0|V^\dagger(\gamma)U^\dagger(\theta)$ प्रत्याशा मान की गणना करने के लिए बाईं ओर से कार्य करता है। संचालन का यह क्रम क्वांटम सर्किट कैसे कार्य करते हैं, इसके लिए मौलिक है।

• एकीकरण के बजाय योग क्यों? प्रत्याशा मान, जब क्वांटम कंप्यूटर पर मापा जाता है, तो माप परिणामों पर योग शामिल होता है। कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों के एक असतत सेट के लिए, प्रत्याशा मान स्वाभाविक रूप से अवलोकन योग्य के आइगेनवैल्यूज़ द्वारा भारित संभावनाओं का योग है। एकीकरण का उपयोग निरंतर चर के लिए किया जाएगा, जो वर्तमान में हार्डवेयर पर VQAs के प्रत्यक्ष आउटपुट नहीं हैं।

चरण-दर-चरण प्रवाह

एक एकल अमूर्त क्वांटम अवस्था की कल्पना करें, जो शुरू में एक शुद्ध $|0\rangle^{\otimes n}$ है, जो एक परिष्कृत क्वांटम असेंबली लाइन से गुजरकर एक लक्ष्य जमीनी अवस्था का एक अत्यधिक अनुकूलित सन्निकटन बन जाती है।

1. प्रारंभिक अवस्था इनपुट: प्रक्रिया सरल, असंबद्ध कम्प्यूटेशनल आधार अवस्था $|0\rangle^{\otimes n}$ में क्वांटम प्रणाली को तैयार करके शुरू होती है। यह हमारी "कच्ची सामग्री" है जो असेंबली लाइन के पहले चरण में प्रवेश करती है।

2. एनकोडर प्री-प्रोसेसिंग: यह कच्ची $|0\rangle^{\otimes n}$ अवस्था पहले "एनकोडर" सर्किट, $V(\gamma)$ में प्रवेश करती है। यह सर्किट, अपने मापदंडों $\gamma$ द्वारा नियंत्रित, एक विशेष प्री-प्रोसेसर की तरह कार्य करता है। यह सरल $|0\rangle^{\otimes n}$ को एक जटिल, "डिज़ाइन किए गए इनपुट स्टेट" $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ में बदलने के लिए सावधानीपूर्वक चुने गए एकल- और बहु-क्यूबिट गेट्स (रोटेशन, एंटैंगलिंग ऑपरेशंस) का एक क्रम लागू करता है। यह कदम मुख्य विनिर्माण प्रक्रिया में प्रवेश करने से पहले कच्ची सामग्री को एक विशिष्ट, लाभप्रद रूप में आकार देने जैसा है। लक्ष्य यह सुनिश्चित करना है कि यह पूर्व-संसाधित अवस्था पहले से ही विशाल क्वांटम अवस्था स्थान में वांछित अंतिम उत्पाद के "करीब" हो।

3. एन्सेटेट मुख्य परिवर्तन: डिज़ाइन किया गया इनपुट स्टेट $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ फिर मुख्य "एन्सेटेट" सर्किट, $U(\theta)$ पर आगे बढ़ता है। यह मुख्य वेरिएशननल इंजन है, जिसे $\theta$ द्वारा पैरामीट्रिक किया गया है। यह क्वांटम गेट्स का एक और क्रम लागू करता है, जो $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ को अंतिम वेरिएशननल अवस्था $|\Psi(\theta,\gamma)\rangle = U(\theta)|\Psi_0(\gamma)\rangle$ में बदल देता है। यह मुख्य विनिर्माण चरण है, जहां अवस्था को लक्ष्य जमीनी अवस्था का यथासंभव बारीकी से अनुमान लगाने के लिए पुनरावृत्त रूप से परिष्कृत किया जाता है।

4. ऊर्जा माप (वैचारिक): एक बार जब अवस्था $|\Psi(\theta,\gamma)\rangle$ तैयार हो जाती है, तो इसे सीधे हैमिल्टनियन $H$ द्वारा समय-विकास अर्थ में "कार्य" नहीं किया जाता है। इसके बजाय, इसकी ऊर्जा मापी जाती है। इसमें हैमिल्टनियन $H$ को मापने योग्य पाउली शब्दों के योग में विघटित करना शामिल है। प्रत्येक शब्द के लिए, क्वांटम कंप्यूटर इसके प्रत्याशा मान प्राप्त करने के लिए $|\Psi(\theta,\gamma)\rangle$ पर माप करता है।

5. प्रत्याशा मान एकत्रीकरण: इन मापों से प्राप्त परिणामों को फिर शास्त्रीय रूप से एकत्रित किया जाता है। ऊर्जा $E(\theta,\gamma)$ की गणना हैमिल्टनियन में उनके गुणांकों द्वारा भारित व्यक्तिगत पाउली शब्दों के मापे गए प्रत्याशा मानों को जोड़कर की जाती है। यह अंतिम संख्यात्मक मान, $E(\theta,\gamma)$, वर्तमान वेरिएशननल अवस्था के "गुणवत्ता स्कोर" का प्रतिनिधित्व करता है, जो दर्शाता है कि इसकी ऊर्जा हैमिल्टनियन की वास्तविक जमीनी अवस्था ऊर्जा के कितनी करीब है। यह क्वांटम-शास्त्रीय लूप के माध्यम से एक पास पूरा करता है।

अनुकूलन गतिशीलता

तंत्र ऊर्जा प्रत्याशा मान $E(\theta,\gamma)$ को न्यूनतम करने के लक्ष्य के साथ एक हाइब्रिड क्वांटम-शास्त्रीय अनुकूलन लूप के माध्यम से सीखता है, अपडेट करता है और अभिसरण करता है।

1. दो-चरणीय अनुकूलन रणनीति: जटिलता को प्रबंधित करने और दक्षता में सुधार करने के लिए सीखने की प्रक्रिया को दो मुख्य चरणों में संरचित किया गया है:

   • एन्सेटेट का प्री-ट्रेनिंग: प्रारंभ में, केवल एन्सेटेट सर्किट $U(\theta)$ को अनुकूलित किया जाता है। इसमें एक सरल इनपुट अवस्था (जैसे, $|0\rangle^{\otimes n}$) से शुरू करना और $E(\theta) = \langle 0|U^\dagger(\theta) H U(\theta)|0\rangle$ को न्यूनतम करने के लिए $\theta$ को पुनरावृत्त रूप से समायोजित करना शामिल है। एक शास्त्रीय अनुकूलक (जैसे ग्रेडिएंट डिसेंट या ग्रेडिएंट-मुक्त विधि) $E(\theta)$ द्वारा परिभाषित हानि परिदृश्य का अन्वेषण करता है। अनुकूलक ग्रेडिएंट्स $\nabla_\theta E(\theta)$ की गणना (या अनुमान) करता है ताकि सबसे तेज ढलान की दिशा निर्धारित की जा सके, मापदंडों $\theta$ को स्थानीय न्यूनतम की ओर निर्देशित किया जा सके। यह चरण तब तक जारी रहता है जब तक ग्रेडिएंट नॉर्म एक पूर्वनिर्धारित सीमा से नीचे नहीं गिर जाता है, जो एक स्थिर बिंदु का संकेत देता है, और प्री-ऑप्टिमाइज़्ड मापदंडों $\tilde{\theta}_{\text{opt}}$ का एक सेट प्राप्त करता है। यह चरण दिए गए सर्किट गहराई के लिए एन्सेटेट के लिए एक आधार प्रदर्शन स्थापित करने के लिए महत्वपूर्ण है।
   • एनकोडर और एन्सेटेट का संयुक्त अनुकूलन: प्री-ट्रेनिंग के बाद, इनपुट-स्टेट डिज़ाइन तंत्र को शामिल किया जाता है। कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों के $M$ पूल का नमूना लिया जाता है, और उनकी ऊर्जा का अनुमान प्री-ट्रेन किए गए एन्सेटेट $U(\tilde{\theta}_{\text{opt}})$ का उपयोग करके लगाया जाता है। इस पूल से, $m$ "आशाजनक" राज्यों का चयन किया जाता है (ऊर्जा के आधार पर और $|0\rangle^{\otimes n}$ सहित) नए इनपुट स्टेट $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ के रूप में सुपरपोज़िशन के आधार के रूप में। फिर एनकोडर सर्किट $V(\gamma)$ को इन $m$ आधार राज्यों के सुपरपोज़िशन को तैयार करने के लिए बनाया जाता है। अब, पूर्ण सर्किट $U(\theta)V(\gamma)$ पर विचार किया जाता है, और दोनों मापदंडों के सेट, $\theta$ और $\gamma$, को $E(\theta,\gamma) = \langle 0|V^\dagger(\gamma)U^\dagger(\theta) H U(\theta)V(\gamma)|0\rangle$ को न्यूनतम करने के लिए संयुक्त रूप से अनुकूलित किया जाता है। एन्सेटेट मापदंडों को $\tilde{\theta}_{\text{opt}}$ के साथ आरम्भ किया जाता है, जबकि $\gamma$ मापदंडों को आमतौर पर यादृच्छिक रूप से आरम्भ किया जाता है।

2. ग्रेडिएंट व्यवहार और हानि परिदृश्य:

   • अनुकूलन के दौरान, शास्त्रीय अनुकूलक गणना किए गए ग्रेडिएंट्स $\nabla_\theta E(\theta,\gamma)$ और $\nabla_\gamma E(\theta,\gamma)$ के आधार पर पुनरावृत्त रूप से $\theta$ और $\gamma$ को अपडेट करता है। ये ग्रेडिएंट्स प्रत्येक पैरामीटर के संबंध में ऊर्जा परिदृश्य के ढलान को इंगित करते हैं। मापदंडों को ऊर्जा को कम करने के लिए ग्रेडिएंट के विपरीत दिशा में समायोजित किया जाता है।
   • VQAs के लिए हानि परिदृश्य अत्यधिक जटिल हो सकता है, जिसे अक्सर कई स्थानीय न्यूनतम और "बंजर पठार" द्वारा चिह्नित किया जाता है जहां ग्रेडिएंट्स क्यूबिट्स की संख्या के साथ घातीय रूप से लुप्त हो जाते हैं, जिससे अभिसरण में बाधा आती है।
   • इस पत्र की मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि $V(\gamma)$ के माध्यम से इनपुट अवस्था को डिजाइन करने से यह हानि परिदृश्य प्रभावी ढंग से पुनः आकार देता है। एक अधिक अनुकूल प्रारंभिक अवस्था $|\Psi_0(\gamma)\rangle$ से एन्सेटेट $U(\theta)$ शुरू करके, पहुंच योग्य सेट को स्थानांतरित कर दिया जाता है। यह बदलाव ऊर्जा परिदृश्य के वैश्विक न्यूनतम को एक ऐसे क्षेत्र में ले जा सकता है जो अनुकूलक के लिए अधिक सुलभ है, या यह लक्ष्य अवस्था के निकटतम क्षेत्र में परिदृश्य को "चिकना" बना सकता है, जिससे बंजर पठारों को कम किया जा सके और प्रशिक्षण क्षमता में सुधार हो सके। लेखकों ने जानबूझकर एनकोडर $V(\gamma)$ को उथला रखा है ताकि नई समस्याग्रस्त स्थानीय न्यूनतम को पेश न किया जा सके या प्रशिक्षण कठिनाइयों को न बढ़ाया जा सके।

3. पुनरावृत्त अवस्था अद्यतन और अभिसरण:

   • संयुक्त अनुकूलन के प्रत्येक पुनरावृत्ति में, मापदंडों $\theta$ और $\gamma$ को गणना किए गए ग्रेडिएंट्स के आधार पर अपडेट किया जाता है। ये अपडेट किए गए मापदंड एक नई क्वांटम सर्किट $U(\theta)V(\gamma)$ को परिभाषित करते हैं, जो एक नई वेरिएशननल अवस्था $|\Psi(\theta,\gamma)\rangle$ तैयार करती है।
   • इस नई अवस्था की ऊर्जा $E(\theta,\gamma)$ को फिर मापा जाता है, और चक्र दोहराया जाता है। यह पुनरावृत्त प्रक्रिया क्वांटम अवस्था $|\Psi(\theta,\gamma)\rangle$ को हैमिल्टनियन $H$ की वास्तविक जमीनी अवस्था के करीब और करीब लाती है।
   • अभिसरण आम तौर पर तब प्राप्त होता है जब ऊर्जा $E(\theta,\gamma)$ स्थिर हो जाती है या वास्तविक जमीनी अवस्था ऊर्जा के बहुत करीब मान तक पहुंच जाती है, और फिडेलिटी (वास्तविक जमीनी अवस्था के साथ ओवरलैप) 1 के करीब पहुंच जाती है। पत्र प्रदर्शित करता है कि यह इनपुट-स्टेट डिज़ाइन पारंपरिक VQAs की तुलना में लगातार उच्च सटीकता और तेज अभिसरण (कम परतें, कम पुनरावृत्तियाँ) की ओर ले जाता है, जो हिल्बर्ट स्पेस के अधिक कुशल अन्वेषण और इष्टतम अवस्था खोजने की बेहतर क्षमता का संकेत देता है। अनुकूलन आम तौर पर शास्त्रीय ओवरहेड को नियंत्रित करने के लिए मामूली संख्या में पुनरावृत्तियों (जैसे, 200) तक सीमित होता है।

परिणाम, सीमाएँ और निष्कर्ष

प्रयोगात्मक डिजाइन और बेसलाइन

लेखकों के प्रयोगात्मक डिजाइन को व्यवस्थित रूप से उनके मुख्य दावे को क्रूरतापूर्वक मान्य करने के लिए तैयार किया गया था: कि एक उपयुक्त इनपुट अवस्था को डिजाइन करने से सर्किट की गहराई या पैरामीटर गणना को बढ़ाए बिना वेरिएशननल क्वांटम एल्गोरिदम (VQAs) की पहुंच क्षमता और प्रदर्शन में काफी वृद्धि हो सकती है। मुख्य विचार एक "एनकोडर" सर्किट, $V(\gamma)$ का परिचय देना है, जो पारंपरिक उत्पाद अवस्था $|0\rangle^{\otimes n}$ या $|+\rangle^{\otimes n}$ के बजाय एक सुपरपोज़िशन इनपुट अवस्था $|\Psi_0(\gamma)\rangle = V(\gamma)|0\rangle^{\otimes n} = \sum_{j=1}^m \alpha_j |\psi_j\rangle$ तैयार करता है। यह एनकोडर प्रभावी रूप से बाद के एन्सेटेट सर्किट $U(\theta)$ के पहुंच योग्य सेट को हिल्बर्ट स्पेस में स्थानांतरित करके संशोधित करता है, जिससे लक्ष्य अवस्था अधिक सुलभ हो जाती है।

प्रायोगिक वास्तुकला में एक बहु-चरणीय अनुकूलन प्रक्रिया शामिल थी:
1. प्री-ट्रेनिंग: मानक एन्सेटेट सर्किट $U(\theta)$ (या तो हार्डवेयर-कुशल एन्सेटेट (HEA) या हैमिल्टनियन वेरिएशनल एन्सेटेट (HVA)) को पहले पारंपरिक इनपुट अवस्था (जैसे, $|0\rangle^{\otimes n}$) का उपयोग करके अनुकूलित किया गया था ताकि मापदंडों का एक प्रारंभिक सेट, $\theta_{\text{opt}}$ प्राप्त किया जा सके। यह चरण दिए गए सर्किट गहराई के लिए एक आधार प्रदर्शन स्थापित करता है।
2. उम्मीदवार अवस्था चयन: कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों के $M$ पूल का नमूना लिया गया था। प्रत्येक अवस्था के लिए, इसकी ऊर्जा प्रत्याशा मान $E_{j^{(k)}} = \langle j^{(k)}|U^\dagger(\theta_{\text{opt}})HU(\theta_{\text{opt}})|j^{(k)}\rangle$ का अनुमान क्वांटम मापों का उपयोग करके लगाया गया था। मापों की संख्या एक लक्ष्य अनुमान त्रुटि $\epsilon$ के लिए $N_m = 1/\epsilon^2$ के रूप में स्केल की गई थी। इस पूल से, $m$ कम-ऊर्जा राज्यों (जिसमें $|0\rangle^{\otimes n}$ शामिल है) का चयन किया गया था ताकि सेट $A_m$ का गठन किया जा सके, जो नए इनपुट अवस्था के लिए सुपरपोज़िशन का गठन करेगा। $m$ की पसंद को सिस्टम आकार के साथ रैखिक रूप से स्केल करने के लिए बनाया गया था (जैसे, 12 क्यूबिट्स के लिए $m=6$), यह सुनिश्चित करते हुए कि एनकोडर की गेट लागत एन्सेटेट की एक परत की लागत के तुलनीय बनी रहे।
3. संयुक्त अनुकूलन: चयनित $m$ आधार राज्यों के आधार पर एक एनकोडर $V(\gamma)$ का निर्माण किया गया था। फिर, एनकोडर $\gamma$ और एन्सेटेट $\theta$ दोनों के मापदंडों को ऊर्जा $E(\theta, \gamma) = \langle 0|V^\dagger(\gamma)U^\dagger(\theta)HU(\theta)V(\gamma)|0\rangle$ को न्यूनतम करने के लिए संयुक्त रूप से अनुकूलित किया गया था। एन्सेटेट मापदंडों को $\theta_{\text{opt}}$ के साथ आरम्भ किया गया था, और एनकोडर मापदंड $\gamma$ को यादृच्छिक रूप से आरम्भ किया गया था। यह संयुक्त अनुकूलन शास्त्रीय ओवरहेड को नियंत्रित करने के लिए मामूली संख्या में पुनरावृत्तियों (आमतौर पर $T=200$) तक सीमित था।

प्रस्तावित विधि के खिलाफ क्रूरतापूर्वक परीक्षण किए जाने वाले "पीड़ित" (बेसलाइन मॉडल) पारंपरिक HEA और HVA सर्किट थे, जिन्हें मानक उत्पाद राज्यों के साथ आरम्भ किया गया था। उनके गणितीय दावों को साबित करने की कुंजी यह थी कि उन्नत VQA (एन्सेटेट + एनकोडर) के प्रदर्शन की तुलना इन बेसलाइनों के साथ मिलान किए गए गेट बजट या निश्चित सर्किट गहराई के तहत की जाए। इसका मतलब था कि उन्नत विधि (एन्सेटेट की L परतें + 1 एनकोडर परत) के लिए कुल क्वांटम संसाधनों (जैसे, परतों की संख्या, CNOT गेट) को बेसलाइन (एन्सेटेट की L+1 परतें) के तुलनीय रखा गया था। इस वास्तुकला विकल्प ने सुनिश्चित किया कि कोई भी देखा गया प्रदर्शन सुधार सीधे इनपुट-स्टेट डिज़ाइन के लिए जिम्मेदार था, न कि केवल एक गहरे या अधिक जटिल सर्किट का उपयोग करने के लिए।

प्रयोगों को कई प्रतिनिधि क्वांटम मेनी-बॉडी मॉडल पर आयोजित किया गया था:
* 1D ट्रांसवर्स-फील्ड आइज़िंग मॉडल (TFIM): 12-क्यूबिट सिस्टम और HEA को एन्सेटेट के रूप में उपयोग करना।
* 2D TFIM: विभिन्न ट्रांसवर्स फील्ड शक्तियों पर HVA को एन्सेटेट के रूप में उपयोग करना।
* क्लस्टर-आइज़िंग मॉडल: HVA को एन्सेटेट के रूप में उपयोग करना।
* 1D फर्मी-हबर्ड मॉडल: विभिन्न इंटरैक्शन शक्तियों पर, हाफ-फिलिंग पर HVA को एन्सेटेट के रूप में उपयोग करना।

प्रदर्शन को मुख्य रूप से जमीनी ऊर्जा और फिडेलिटी (F = $|\langle \Psi|\Psi_{\text{tar}}\rangle|^2$) के साथ-साथ क्वांटम संसाधनों (सर्किट गहराई, CNOT गेट) और शास्त्रीय संसाधनों (अनुकूलन कदम) द्वारा मापा गया था।

साक्ष्य क्या साबित करते हैं

पत्र में प्रस्तुत साक्ष्य निश्चित रूप से साबित करते हैं कि इनपुट-स्टेट डिज़ाइन VQAs की पहुंच क्षमता और प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए एक शक्तिशाली और व्यापक रूप से लागू उपकरण है। प्रमेय 1 द्वारा कठोरता से सिद्ध मुख्य तंत्र यह है कि $m$ लंबवत राज्यों के एक रैखिक सुपरपोज़िशन के रूप में एक इनपुट अवस्था का निर्माण करके, अधिकतम प्राप्त फिडेलिटी व्यक्तिगत फिडेलिटी $F_j = |\langle \psi_j|\Psi_{\text{tar}}\rangle|^2$ का योग है। यह एन्सेटेट के पहुंच योग्य सेट को लक्ष्य अवस्था को शामिल करने के लिए प्रभावी ढंग से संशोधित करने की अनुमति देता है, यहां तक ​​कि उथले सर्किट के लिए भी।

यहाँ निर्विवाद साक्ष्य हैं:

• 1D ट्रांसवर्स-फील्ड आइज़िंग मॉडल (HEA): 12-क्यूबिट 1D TFIM के लिए, उन्नत HEA ने केवल 8 परतों (112 CNOT गेट) के साथ 0.99 फिडेलिटी हासिल की। इसके विपरीत, पारंपरिक HEA को समान फिडेलिटी तक पहुंचने के लिए 12 परतों (144 CNOT गेट) की आवश्यकता थी, जो सर्किट गहराई में 33% की कमी का प्रतिनिधित्व करता है (चित्र 4(a)-(b))। इसके अलावा, उन्नत विधि को पारंपरिक HEA के 1500 की तुलना में केवल 1100 अनुकूलन चरणों की आवश्यकता थी, जो शास्त्रीय संसाधनों में भी लाभ प्रदर्शित करता है। प्रशिक्षण प्रक्षेपवक्र स्पष्ट रूप से एनकोडर पेश किए जाने के बाद ऊर्जा और फिडेलिटी में तेजी से सुधार दिखाते हैं (चित्र 4(c)-(d))।

• 2D ट्रांसवर्स-फील्ड आइज़िंग मॉडल (HVA): विभिन्न क्षेत्र शक्तियों ($h \in \{0.5, 1.0, 1.5\}$) पर, उन्नत HVA ने लगातार पारंपरिक HVA को बेहतर प्रदर्शन किया। इसने कम सर्किट गहराई पर कम वेरिएशननल ऊर्जा और उच्च फिडेलिटी हासिल की (चित्र 5)। $m=8$ आधार राज्यों से निर्मित एनकोडर की गेट लागत एक एकल HVA परत के बराबर थी, जिससे मिलान किए गए गेट बजट के तहत एक निष्पक्ष तुलना सुनिश्चित हुई।

• क्लस्टर-आइज़िंग मॉडल (HVA): इस मॉडल के लिए, उन्नत HVA ने 6 परतों (450 दो-क्यूबिट गेट) के साथ 0.99 फिडेलिटी हासिल की, जबकि पारंपरिक HVA को 9 परतों (558 दो-क्यूबिट गेट) की आवश्यकता थी। शास्त्रीय संसाधन तुलना और भी अधिक आश्चर्यजनक थी: इनपुट-स्टेट डिज़ाइन विधि को $C_R = 54550$ अनुकूलन चरणों की आवश्यकता थी, जबकि पारंपरिक HVA को $C_R = 118800$ की आवश्यकता थी। यह दक्षता में स्पष्ट सुधार है।
• 1D फर्मी-हबर्ड मॉडल (HVA): इस मॉडल ने दृढ़ता से सहसंबद्ध प्रणालियों के लिए एक कठोर परीक्षण के रूप में कार्य किया। $U=2$ के लिए, उन्नत HVA ने 5 परतों के साथ 0.99 फिडेलिटी हासिल की, जबकि पारंपरिक HVA को 9 परतों की आवश्यकता थी। अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि उच्च इंटरैक्शन शक्तियों ($U=5$ और $U=10$) के लिए, जहां पारंपरिक विधि अक्सर प्रारंभिक संवेदनशीलता और बंजर पठारों के कारण 0.6 के आसपास फिडेलिटी पर स्थिर हो जाती थी, इनपुट-स्टेट डिज़ाइन ने लगातार फिडेलिटी को 0.99 से ऊपर धकेल दिया (चित्र 8)। यह जमीनी अवस्था के लिए एक भौतिक रूप से प्रासंगिक और अभिव्यंजक आरंभीकरण प्रदान करने के एनकोडर की क्षमता को उजागर करता है।
• संसाधन ओवरहेड विश्लेषण: पत्र ने नमूना संख्या $M$ और एनकोडर आकार $m$ से जुड़े ओवरहेड का भी विश्लेषण किया। इसने दिखाया कि $M$ बढ़ाने से सटीकता में सुधार होता है लेकिन घटते रिटर्न के साथ, और मध्यम $M$ के साथ उपयोगी सुधार प्राप्त होते हैं (चित्र 9)। उदाहरण के लिए, 12-क्यूबिट सिस्टम के लिए, $M$ को 2000 से 400 तक कम करने पर भी 0.99 की फिडेलिटी प्राप्त हुई। 12-क्यूबिट आइज़िंग मॉडल के लिए कुल शास्त्रीय लागत USD 189600 में से, $M=400$ उम्मीदवारों के लिए प्री-सिलेक्शन की शास्त्रीय लागत मामूली थी, लगभग USD 1000 जोड़ी गई (जैसा कि पत्र में उल्लेख किया गया है, हालांकि तालिका संदर्भ गायब है, यह संभवतः तालिका 2 है)। USD 190600 की यह संयुक्त लागत अभी भी पारंपरिक HEA बेसलाइन द्वारा आवश्यक USD 432000 से काफी कम थी ताकि समान लक्ष्य फिडेलिटी प्राप्त की जा सके।

संक्षेप में, विभिन्न मॉडलों और एन्सेटेट परिवारों में फिडेलिटी में लगातार सुधार, कम सर्किट गहराई, और कम शास्त्रीय अनुकूलन लागत, सभी मिलान किए गए गेट बजट के तहत, निर्विवाद प्रमाण प्रदान करते हैं कि इनपुट-स्टेट डिज़ाइन तंत्र प्रभावी रूप से VQAs की पहुंच क्षमता को बढ़ाता है।

सीमाएँ और भविष्य की दिशाएँ

यद्यपि इनपुट-स्टेट डिज़ाइन ढांचा VQAs में पहुंच क्षमता समस्या का एक सम्मोहक समाधान प्रदान करता है, लेखक कई सीमाओं और भविष्य के शोध के लिए खुले रास्तों को स्वीकार करते हैं।

एक प्राथमिक सीमा वर्तमान एनकोडर निर्माण और उम्मीदवार-चयन रणनीति की अनुभवजन्य प्रकृति में निहित है। पत्र स्पष्ट रूप से कहता है कि "हमारा वर्तमान एनकोडर निर्माण और उम्मीदवार-चयन रणनीति इष्टतम होने के बजाय काफी हद तक अनुभवजन्य है।" इसका तात्पर्य है कि यद्यपि विधि अच्छी तरह से काम करती है, सुपरपोज़िशन के लिए इष्टतम आधार राज्यों की पहचान करने और एनकोडर सर्किट $V(\gamma)$ का निर्माण करने के अधिक कुशल या मजबूत तरीके हो सकते हैं। वर्तमान दृष्टिकोण $M$ कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों का नमूना लेने और $m$ कम-ऊर्जा वाले लोगों का चयन करने पर निर्भर करता है, जो, प्रभावी होने के बावजूद, विशेष रूप से उन समस्याओं के लिए सबसे संसाधन-कुशल या विश्व स्तर पर इष्टतम रणनीति नहीं हो सकती है जिनमें मजबूत पूर्व ज्ञान की कमी है।

एक और चर्चा बिंदु नमूना बजट $M$ से संबंधित है। यद्यपि पत्र प्रदर्शित करता है कि मध्यम $M$ के साथ उपयोगी सुधार प्राप्त होते हैं और $M$ बढ़ाने से घटते रिटर्न मिलते हैं, मौलिक चुनौती बनी हुई है: किसी भी पूर्व ज्ञान के अभाव में, उच्च फिडेलिटी की गारंटी देने के लिए, सिद्धांत रूप में, लगभग सभी $2^n$ कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों का नमूना लेने की आवश्यकता होगी, जो घातीय रूप से अक्षम है। यद्यपि लेखक उस शासन पर ध्यान केंद्रित करते हैं जहां $M$ सिस्टम आकार के साथ बहुपद रूप से बढ़ता है, नमूना ओवरहेड और लक्ष्य सटीकता के बीच व्यापार-बंद अभी भी बड़े सिस्टम के लिए स्केलिंग के लिए एक व्यावहारिक विचार है।

इसके अलावा, यद्यपि इनपुट-स्टेट डिज़ाइन पहुंच क्षमता को संशोधित करके अभिव्यक्ति क्षमता की बाधा को संबोधित करता है, बंजर पठारों से इसका संबंध सूक्ष्म है। लेखक सुझाव देते हैं कि अत्यधिक उलझे हुए इनपुट राज्यों का उपयोग करना, जिन्हें शास्त्रीय रूप से अनुकरण नहीं किया जा सकता है, उनके प्रोटोकॉल को बंजर पठार नो-गो प्रमेय का सामना किए बिना क्वांटम लाभ प्राप्त करने की अनुमति दे सकता है जो शास्त्रीय रूप से अनुकरणीय इनपुट राज्यों पर लागू होता है। हालांकि, एनकोडर को जानबूझकर उथला रखा गया है ताकि नई प्रशिक्षण समस्याओं को पेश न किया जा सके। इसका तात्पर्य है कि एन्सेटेट $U(\theta)$ के लिए स्वयं मुख्य बंजर पठार समस्या को सीधे हल नहीं किया गया है, बल्कि एक बेहतर शुरुआती बिंदु द्वारा दरकिनार किया गया है।

इन अंतर्दृष्टियों के आधार पर, इन निष्कर्षों के आगे विकास और विकास के लिए कई चर्चा विषय उभरते हैं:

1. अनुकूली और बुद्धिमान उम्मीदवार राज्य चयन: उम्मीदवार आधार राज्यों के चयन के लिए सरल ऊर्जा-आधारित फ़िल्टरिंग से परे हम कैसे जा सकते हैं? भविष्य के शोध में उन्नत मशीन लर्निंग तकनीकों, जैसे सुदृढीकरण सीखने या सक्रिय सीखने का पता लगाया जा सकता है, ताकि अनुकूली रूप से सबसे "सूचनात्मक" आधार राज्यों या इनपुट सुपरपोज़िशन के लिए गैर-कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों की पहचान की जा सके। यह नमूना बजट $M$ और आवश्यक मापों की संख्या को काफी कम कर सकता है, जिससे प्री-सिलेक्शन चरण अधिक संसाधन-कुशल और स्केलेबल हो जाएगा।
2. इष्टतम एनकोडर वास्तुकला और पैरामीटराइजेशन: वर्तमान एनकोडर $V(\gamma)$ को कम्प्यूटेशनल आधार राज्यों के सुपरपोज़िशन को तैयार करने के लिए बनाया गया है। क्या हम अधिक परिष्कृत या समस्या-विशिष्ट एनकोडर आर्किटेक्चर का पता लगा सकते हैं जो अधिक जटिल, उलझे हुए इनपुट राज्यों को अधिक कुशलता से तैयार कर सकते हैं? इसमें हैमिल्टनियन की समरूपता का लाभ उठाने वाले एनकोडर डिजाइन करना या $V(\gamma)$ के $\alpha_j$ गुणांकों और गेट संरचना को अनुकूलित करने के लिए क्वांटम सूचना सिद्धांत से अंतर्दृष्टि शामिल हो सकती है।
3. सहक्रियात्मक बंजर पठार शमन: यद्यपि इनपुट-स्टेट डिज़ाइन पहुंच क्षमता में सुधार करता है, यह एन्सेटेट सर्किट के लिए बंजर पठार समस्या को सीधे हल नहीं करता है। एक महत्वपूर्ण भविष्य की दिशा यह जांचना है कि इनपुट-स्टेट डिज़ाइन को अन्य बंजर पठार शमन तकनीकों (जैसे, पैरामीटर आरंभीकरण रणनीतियों, स्थानीय लागत कार्यों, या समस्या-प्रेरित एन्सेटेट्स) के साथ सहक्रियात्मक रूप से कैसे जोड़ा जा सकता है। क्या एक सावधानीपूर्वक चुना गया उलझा हुआ इनपुट स्टेट बाद के एन्सेटेट अनुकूलन के हानि परिदृश्य को "सपाट" या "तेज" कर सकता है, जिससे प्रशिक्षण क्षमता में सुधार हो सकता है?
4. बड़े सिस्टम के लिए स्केलेबिलिटी और संसाधन विश्लेषण: वर्तमान सिमुलेशन 12 क्यूबिट तक सीमित हैं। एक महत्वपूर्ण प्रश्न यह है कि ओवरहेड (नमूना $M$, एनकोडर गेट गणना, शास्त्रीय अनुकूलन चरण) बहुत बड़े क्वांटम सिस्टम के लिए कैसे स्केल करते हैं। $n$ बढ़ने के साथ $M$ और $m$ के व्यावहारिक सीमाओं और इष्टतम व्यापार-बंदों को स्थापित करने के लिए विस्तृत सैद्धांतिक और संख्यात्मक विश्लेषण की आवश्यकता है, यह सुनिश्चित करते हुए कि विधि दोष-सहिष्णु क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए व्यवहार्य बनी रहे।
5. अन्य VQA कार्यों के लिए सामान्यीकरण: वर्तमान कार्य मुख्य रूप से जमीनी अवस्था तैयारी पर केंद्रित है। इस इनपुट-स्टेट डिज़ाइन ढांचे को अन्य VQA अनुप्रयोगों, जैसे क्वांटम मशीन लर्निंग, अनुकूलन समस्याओं (जैसे, QAOA), या उत्तेजित अवस्थाओं के अनुकरण के लिए कैसे बढ़ाया और मान्य किया जा सकता है? प्रत्येक अनुप्रयोग में लक्ष्य अवस्था के लिए अद्वितीय आवश्यकताएं हो सकती हैं, जिसके लिए इनपुट-स्टेट डिज़ाइन के लिए विभिन्न रणनीतियों की आवश्यकता होती है।
6. शोर लचीलापन और हार्डवेयर कार्यान्वयन: वर्तमान और निकट-अवधि के क्वांटम हार्डवेयर में अंतर्निहित शोर को देखते हुए, विभिन्न शोर मॉडल (जैसे, डिपोलराइजेशन, डीफेजिंग, रीडआउट त्रुटियाँ) के प्रति इनपुट-स्टेट डिज़ाइन दृष्टिकोण कितना मजबूत है? भविष्य के काम में एनकोडर सर्किट के लिए विशेष रूप से तैयार किए गए शोर-जागरूक इनपुट-स्टेट डिज़ाइन रणनीतियों या त्रुटि शमन तकनीकों का पता लगाया जा सकता है ताकि यह सुनिश्चित किया जा सके कि प्रदर्शन लाभ यथार्थवादी हार्डवेयर कार्यान्वयन में संरक्षित रहें।

Figure 9. Impact of sampling size on infidelity for basis-state in pre-selection step. We consider the 12-qubit 1D transverse-field Ising model with a 5-layer HEA as the variational circuit U(θ) and m = 6. The horizontal axis shows the sampling number M, and the vertical axis reports the final infidelity 1 −F obtained after the joint optimization. Increasing M improves the final accuracy by providing a better set of candidate basis states for constructing the encoder input state, while the improvement quickly saturates for larger M, indicating diminishing returns beyond a moderate sampling number Table 2. Minimum sample size required to reach target fidelity in the transverse- field Ising model. Results are shown for target fidelities F = 0.99 and 0.95 and for n ∈{6, 8, 10, 12} qubits. The number of selected computational-basis states is set to m = 4 for n = 6, 8 and m = 6 for n = 10, 12. We also report the final fidelity achieved by the baseline hardware-efficient ansatz (HEA) without input-state design under a matched quantum-resource budget: the baseline uses (L + 1) HEA layers, whereas our method uses L HEA layers plus one encoder layer Figure 5. Simulation results for the 12-qubit 2D Ising model at h = 0.5, 1, and 1.5. The upper panels (a, c, e) show the ground energy as a function of circuit depth p for h = 0.5, 1, and 1.5, respectively, and the lower panels (b, d, f) show the corresponding fidelity to the exact ground state. The blue curves correspond to the conventional HVA, and the orange curves correspond to the input-state design (enhanced HVA). Each marker represents the mean over 100 random initializations, and the error bars represent standard deviations over these runs. Across all three values of h, the input-state design consistently achieves lower variational energies and higher fidelities under the same depth, and it reaches the 0.99 fidelity threshold with fewer layers than the baseline