비국소성, 적분 가능성 및 벨 연산자 스펙트럼에서의 양자 혼돈

배경 및 학문적 계보

기원 및 학문적 계보

본 논문에서 다루는 문제는 양자 비국소성, 즉 벨 부등식[1]에 의해 처음 유명하게 설명된 현상을 이해하려는 오랜 탐구에서 비롯된다. 비국소성은 고전 물리학을 넘어서는 고급 정보 처리 작업에 중요하지만[2], 단순한 스핀-1/2 입자보다 복잡한 시스템에서 이러한 비국소적 상관관계가 어떻게 나타나는지에 대한 우리의 이해는 여전히 매우 제한적이다. 특히, 이 분야는 각 양자 부분계가 전자와 같은 스핀-1/2 입자의 두 가지 결과와 달리 세 가지 이상의 가능한 결과를 가질 수 있는 "고차 스핀" 시스템에서 비국소성을 특성화하는 데 어려움을 겪어왔다.

이전 연구에서 중요한 "고충점"은 벨 시나리오의 지수적 스케일링이었다. 상호작용하는 양자 입자, 측정 설정 및 가능한 결과의 수가 증가함에 따라 벨 부등식을 분석하는 복잡성은 극도로 증가한다[6]. 스핀-1/2 시스템의 경우, 연구자들은 대칭성을 활용하고 더 간단한 상관관계에 초점을 맞춤으로써 이를 우회하는 방법을 찾았으며[7-11], 이를 통해 방대한 수의 입자를 가진 시스템을 연구할 수 있었다[12, 13]. 그러나 이러한 방법은 고차 스핀 입자에 대해 "훨씬 덜 개발되어" 있으며, 이는 그러한 시스템에서 벨 상관관계에 대한 이론적 이해와 실험적 시연 모두에 상당한 격차가 있음을 의미한다. 본 논문은 이러한 고차원 시스템(큐트릿)에 대한 국소 투영 측정의 매끄러운 매개변수화라는 기본적인 작업조차 큐비트에 비해 훨씬 더 복잡하다는 점을 강조한다. 이러한 적절한 방법의 부족은 이러한 더 풍부한 3준위 시스템에서 비국소성이 양자 혼돈과 같은 다른 복잡한 양자 현상과 어떻게 관련되는지에 대한 더 깊은 탐구를 방해해왔다. 저자들은 특히 동적 복잡성과 비국소적 상관관계 사이의 상호 작용을 탐구하는 데 자연스럽게 적합한 SU(3) 모델을 사용하여 이 격차를 해소하기 위해 이 논문을 작성하게 되었다.

직관적인 도메인 용어

• 벨 비국소성: 멀리 떨어져 있는 앨리스와 밥이라는 두 사람이 각자 특별한 동전을 가지고 있다고 상상해보자. 그들이 동전을 던졌을 때 항상 반대 결과(하나는 앞면, 하나는 뒷면)가 나온다면, 그들이 통신하거나 미리 약속할 수 없었음에도 불구하고, 그것은 벨 비국소성과 같다. 그것은 고전적인 설명으로는 설명할 수 없을 정도로 강한 상관관계이며, 국소적 영향력을 넘어서는 "으스스한" 연결을 시사한다.
• 벨 연산자: 벨 비국소성 게임의 수학적 "점수표"로 생각하라. 앨리스와 밥이 수행하는 특정 측정값에 대해 이 연산자는 특정 값을 계산한다. 이 값이 특정 임계값 아래로 떨어지면 해당 양자 시스템이 벨 비국소성을 나타내고 있음을 의미한다. 본 논문은 이 연산자를 시스템의 에너지와 그 진화를 설명하는 수학적 기술인 "유효 해밀토니안"으로 취급한다.
• 큐트릿: 표준 전등 스위치는 켜짐 또는 꺼짐의 두 가지 상태를 가진다. 큐트릿은 꺼짐, 희미함, 밝음의 세 가지 서로 다른 상태를 가진 특별한 전등 스위치와 같다. 그것은 양자 정보의 기본 단위로, 큐비트(두 상태)와 유사하지만 추가적인 자유도를 가지고 있어 설명하는 시스템을 더 복잡하고 흥미롭게 만든다.
• 양자 혼돈: 당구대를 상상해보자. 완벽한 직사각형이라면 공의 경로는 예측 가능할 수 있다(적분 가능). 그러나 당구대가 매우 불규칙하고 복잡한 모양이라면, 공은 믿을 수 없을 정도로 예측 불가능하고 "혼돈스러운" 방식으로 튕길 것이다. 양자 혼돈은 이러한 종류의 복잡하고 예측 불가능한 행동이 양자 시스템의 에너지 준위에서 어떻게 나타나는지에 관한 것으로, 종종 무작위 숫자 덩어리처럼 보이게 만든다.
• 적분 가능성: 당구대 비유를 따라, 적분 가능성은 당구대가 완벽한 모양이고 공의 움직임이 매우 예측 가능하며 간단하고 규칙적인 패턴을 따르는 경우이다. 양자 시스템에서 이는 에너지 준위가 상관관계가 없고 예측 가능한 방식으로 퍼져 있음을 의미하며, 간단한 분포(푸아송)에서 추출된 무작위 숫자와 같다.

표기법 표

표기법	설명

문제 정의 및 제약 조건

핵심 문제 공식화 및 딜레마

본 논문이 다루는 핵심 문제는 고차원 다체 시스템에서 양자 비국소성에 대한 이해의 상당한 격차에서 비롯된다. 벨 부등식은 스핀-1/2(큐비트) 시스템에서 비국소성을 특성화하는 데 중요한 역할을 해왔지만, 부분계당 세 개 이상의 결과(큐트릿 또는 고차 스핀 입자)를 갖는 시스템에 대한 적용은 여전히 대부분 개발되지 않았다.

현재 상태는 이러한 고차원 시스템에서 비국소적 상관관계가 어떻게 나타나는지, 그리고 더 중요하게는 양자 혼돈과 같은 복잡한 물리 현상과 어떻게 관련되는지에 대한 제한적인 이해이다. 이전 연구는 주로 대칭성을 활용하여 큐비트에서 벨 시나리오의 지수적 스케일링을 완화하는 데 초점을 맞추었다. 그러나 큐트릿에 대한 유사한 방법은 훨씬 덜 성숙하며, 그러한 시스템에서 벨 상관관계에 대한 실험적 시연은 거의 존재하지 않는다. 또한, 해밀토니안의 스펙트럼 속성은 양자 혼돈의 잘 확립된 진단 도구이지만, 이 "스펙트럼 렌즈"는 벨 연산자에 거의 적용되지 않았다.

원하는 최종 상태는 다중 입자 스핀-1 시스템에서 벨 비국소성과 양자 혼돈 사이에 명확한 연결을 확립하는 것이다. 여기에는 적절한 순열 불변 벨 부등식을 도입하고, 해당 벨 연산자를 구성하고, 다양한 측정 구성 하에서 이 연산자의 스펙트럼 속성을 분석하는 것이 포함된다. 궁극적인 목표는 벨 부등식 위반을 최대화하는 특정 측정 설정을 식별하고, 이러한 최적 구성과 관련된 양자 혼돈(또는 적분 가능성)의 특성을 이해하는 것이다.

본 논문이 연결하고자 하는 누락된 연결고리는 고차원 양자 시스템에서 최대 벨 비국소성과 관련 벨 연산자의 스펙트럼 통계 사이의 정확한 수학적 및 물리적 관계이다. 구체적으로, 본 논문은 최대 비국소성이 혼돈스러운(위그너-다이슨) 또는 적분 가능한(푸아송) 스펙트럼 행동과 관련이 있는지, 그리고 어떤 근본적인 메커니즘이 이 연결을 주도하는지 이해하고자 한다.

역사적으로 연구자들을 가두어 왔던 고통스러운 절충 또는 딜레마는 본 논문이 강조하는 것으로, 이러한 시스템에서 최대 벨 부등식 위반을 초래하는 조건이 예상되는 복잡하고 혼돈스러운 역학을 초래하지 않는다는 반직관적인 발견이다. 대신, 본 논문은 비국소성을 최대화하는 최적 측정 설정이 놀랍게도 적분 가능한 행동의 특징인 푸아송 수준 통계를 나타내는 벨 연산자를 초래한다는 것을 밝힌다. 반대로, 일반적이거나 약간 교란된 측정은 양자 혼돈의 특징인 위그너-다이슨 통계를 초래한다. 이는 딜레마를 제시한다: 가장 심오한 양자 비국소성을 드러내는 조건 자체가 시스템의 스펙트럼 역학을 단순화하는 것처럼 보이며, 이는 이 적분 가능성의 미세 조정되고 취약한 본질을 시사한다.

제약 조건 및 실패 모드

다중 입자 고차 스핀 시스템에서 비국소성과 양자 혼돈을 이해하는 문제는 몇 가지 가혹하고 현실적인 제약 조건으로 가득 차 있다.

• 계산 스케일링: 가장 중요한 장벽은 "입자 수, 측정 설정 및 결과에 따른 벨 시나리오의 지수적 스케일링"이다. $n$개의 입자가 각각 두 개의 측정 설정과 세 개의 결과(큐트릿)를 가질 때, 복잡성은 빠르게 다루기 어렵게 된다. 본 논문은 각 사이트 $i \in [n]$에 대해 다른 측정 매개변수를 가진 벨 연산자를 구성하는 것이 "계산적으로 너무 부담스럽다"고 명시적으로 명시한다. 이러한 계산적 한계는 고려된 순열 불변 벨 부등식(PIBI)에 대해 $n=32$ 입자로 분석을 제한했다.
• 측정 매개변수화의 어려움: 큐트릿에 대한 국소 투영 측정의 매끄러운 매개변수화는 큐비트에 비해 훨씬 더 복잡하다. 주요 어려움은 벨 시나리오에 필요한 스펙트럼 속성을 보존하는 연속적인 유니터리 연산자족을 구성하는 데 있다. 파울리 행렬의 직접적인 일반화는 선형 조합에 대해 유니터리성을 보존하지 않으므로 측정 설정의 최적화는 사소하지 않은 작업이 된다.
• 데이터 부족 및 실험적 검증: 고차 스핀 입자의 경우, "그러한 시스템에서 벨 상관관계에 대한 실험적 시연은 아직 보고되지 않았다." 이러한 시스템에 대한 실제 데이터 또는 실험 플랫폼의 부족은 이론 모델과 계산 시뮬레이션이 탐색의 주요 수단임을 의미하며, 직접적인 경험적 검증을 제한한다.
• 적분 가능성의 취약성: 최대 벨 위반에서 관찰된 적분 가능한 행동은 매우 취약하다. 그것은 최적 측정 설정 주변의 매우 작은 이웃 내에서만 나타난다. "최적 측정 설정에서 약간의 편차만으로도 푸아송에서 위그너-다이슨 통계로의 전환을 유도한다." 또한, "푸아송 유사 RCS 분포를 산출하는 측정 설정의 부피는 $n$이 증가함에 따라 축소된다"는 것은 시스템 크기가 커짐에 따라 이 적분 가능한 영역을 찾고 유지하는 것이 점점 더 어렵고 미세하게 조정됨을 의미한다. 이는 관찰된 적분 가능성이 벨 연산자의 일반적인 속성이 아니라 최적 구성의 특이한 특징임을 시사하며, 이를 탐지하고 연구하는 것을 어렵게 만든다.
• 유한 크기 효과: 최적 측정이 0이 아닌 적합된 RCS 매개변수($\lambda > 0$)를 산출하는 일반 규칙(그림 2의 주황색 점)에 대한 명백한 예외는 "해당 기약 표현의 힐베르트 공간 차원이 제한됨으로써 발생하는 유한 크기 효과"로 해석된다. 이는 더 작은 시스템 크기의 경우 스펙트럼 통계가 점근적 행동을 완전히 반영하지 못할 수 있으며, 적분 가능성 또는 혼돈에 대한 오해를 초래할 수 있음을 의미한다.

왜 이 접근 방식인가

선택의 불가피성

다중 입자 3준위 시스템(큐트릿)을 위한 새로운 순열 불변 벨 부등식(PIBI)을 도입하고 해당 벨 연산자의 스펙트럼 속성을 분석하는 데 중점을 둔 선택된 접근 방식은 문제의 범위에 대한 선호가 아니라 필수였다. 전통적인 "SOTA" 방법인 표준 합성곱 신경망(CNN), 확산 모델 또는 트랜스포머는 이 영역과 완전히 직교한다. 그것들은 이미지 생성, 자연어 처리 또는 데이터 분류와 같은 작업에 설계되었으며, 연산자 스펙트럼에서의 양자 비국소성과 혼돈에 대한 근본적인 이론적 조사에는 그렇지 않다. 따라서 이러한 방법은 고려되지 않았으며 여기에는 적용되지 않는다.

저자들은 "그러나 스핀-1/2 입자를 넘어서는 시스템에서 비국소적 상관관계가 어떻게 나타나는지, 그리고 복잡한 물리적 행동과 어떻게 관련되는지에 대한 우리의 이해는 여전히 제한적이다." (2페이지)라고 강조된 상당한 격차로 인해 초기 단계에서 기존 방법의 불충분함을 깨달았다. 구체적으로, 고차 스핀 입자(큐트릿과 같은)의 경우, "유사한 방법...은 훨씬 덜 개발되었으며, 그러한 시스템에서 벨 상관관계에 대한 실험적 시연은 아직 보고되지 않았다." (2페이지) 이는 큐비트(스핀-1/2)에 대한 확립된 프레임워크가 고차원 힐베르트 공간과 SU(3) 대칭의 고유한 복잡성으로 인해 큐트릿(스핀-1)으로 쉽게 확장될 수 없음을 나타낸다. 입자 수, 측정 설정 및 결과에 따른 벨 시나리오의 지수적 스케일링[6]은 이러한 복잡성을 관리하면서 물리적 통찰력을 보존하는 맞춤형 접근 방식의 필요성을 더욱 강조했다. 유효 해밀토니안으로 해석되는 큐트릿에 대한 특정 벨 연산자의 구성은 스펙트럼 분석을 통해 벨 비국소성과 양자 혼돈 사이의 격차를 해소하는 유일한 방법이었다.

비교 우위

이 방법의 질적 우수성은 벤치마크에서 기존 알고리즘을 능가하는 것이 아니라 이전에 해결할 수 없었던 문제 공간을 해결하고 새롭고 근본적인 연결을 밝히는 능력에서 비롯된다.

1. 고차원 시스템으로의 확장: 이 접근 방식은 다중 입자 스핀-1 시스템(큐트릿)에서 벨 비국소성과 양자 혼돈을 조사할 수 있도록 독특하게 한다. 언급했듯이, 그러한 고차 스핀 입자에 대한 방법은 "훨씬 덜 개발되었다"(2페이지). SU(3) 시스템은 "일반적으로 외부 구동이 필요한 SU(2) 모델과 달리 이미 고유한 양자 혼돈 역학을 호스팅한다"(3페이지)는 점에서 특히 매력적이므로 이 탐구를 위한 자연스러운 플랫폼이 된다.
2. 대칭성 활용을 통한 계산적 처리 가능성: 벨 시나리오의 핵심 과제는 "지수적 스케일링"(2페이지)이다. 이 방법은 순열 불변성 대칭을 활용하고 슈어-웨일 쌍대성을 적용하여 이를 극복한다. 이를 통해 벨 연산자를 "각 블록의 크기가 다항식인 대칭 적응 기저에서 블록 대각화"할 수 있다(4페이지, B절). $O(N^2)$에서 $O(N)$으로의 감소로 명시적으로 명시되지는 않았지만, 이 블록 대각화는 각 블록 내에서 계산 복잡성을 지수적에서 다항식으로 크게 줄여 최대 $n=32$ 입자(5페이지)에 대한 분석을 가능하게 한다.
3. 양자 혼돈에 대한 연산자 기반 관점: 고정된 해밀토니안 하에서 양자 상태의 진화를 통해 양자 혼돈을 일반적으로 탐구하는 이전 연구와 달리, 이 방법은 연산자 기반 관점을 "근본적으로 다르게"(7페이지, 토론) 제공한다. 이는 벨 연산자 자체의 스펙트럼 통계가 측정 구성에 따라 변하며, 적분 가능성(푸아송 통계)이 "최대 벨 위반과 일치하는 미세 조정된 대칭 강화 지점"(7페이지, 토론)에서 나타난다는 것을 밝힌다. 이러한 구조적 이점은 비국소성과 혼돈 사이에 더 깊고 본질적인 연결을 제공한다.

제약 조건과의 정렬

선택된 방법은 문제의 암묵적인 제약 조건과 완벽하게 일치하며, 문제의 가혹한 요구 사항과 해결책의 고유한 속성 간의 "결합"을 형성한다.

1. 다중 입자 스핀-1 시스템에 대한 초점: 방법의 핵심은 "순열 불변 다중 입자 벨 부등식을 다중 입자 스핀-1 시스템에 맞게 조정"(3페이지)하는 것이다. 이는 이 맥락에서 이전에 탐구되지 않았던 큐트릿 시스템을 연구하는 제약 조건을 직접적으로 해결한다.
2. 지수적 스케일링 처리: 방법의 순열 불변성 대칭 및 슈어-웨일 쌍대성을 사용하여 벨 연산자를 블록 대각화하는 데 대한 의존성(4페이지, B절)은 다중 입자 벨 시나리오에서 지수적 스케일링의 계산적 문제를 직접적으로 해결한다. 이를 통해 상당한 수의 입자에 대한 문제를 처리할 수 있다.
3. 양자 혼돈 및 비국소성 조사: 벨 연산자의 스펙트럼 속성을 연속적인 수준 간격 비율(RCS)을 사용하여 분석하는 것(4페이지, C절)은 적분 가능성(푸아송 통계)과 혼돈(위그너-다이슨 통계)을 진단하는 직접적인 메커니즘이다. 이는 비국소성과 양자 혼돈의 상호 작용을 탐구하는 목표를 완벽하게 충족한다.
4. 효율적인 측정 매개변수화: 본 논문은 "벨 시나리오의 구조를 존중하면서 국소 투영 측정을 매개변수화하는 효율적인 방법"에 대한 필요성을 명시적으로 명시한다(4페이지, B절). 채택된 유니터리 기반 매개변수화(7식)는 유니터리성을 보장하고 벨 시나리오 구조를 보존하며 효율적인 최적화를 가능하게 하여 최적 측정 설정을 찾는 데 중요하다.
5. 순열 불변성 보존: PIBI 자체는 순열 불변이며, 최적화 전략은 "모든 당사자가 동일한 측정 쌍을 공유한다"($\theta_i^x = \theta^x$ for all $i \in [n]$)(4페이지, B절)고 가정하여 이 대칭성을 최대한 활용하여 최적 측정 검색을 단순화한다.

대안의 거부

본 논문은 양자 혼돈 및 상관관계에 대한 이전 연구와 비교하여 연산자 기반 프레임워크의 고유한 장점을 강조함으로써 암묵적으로 대안적인 접근 방식을 거부한다. 저자들은 다음과 같이 말한다. "우리의 접근 방식은 혼돈을 양자 상관관계와 연결하는 이전 노력과 근본적으로 다르다. 이전 연구는 일반적으로 앙상블 성장[43], 양자 디스코던스[44] 또는 혼돈 역학에서 레게트-가르 부등식 위반[45]과 같은 양자 상태의 속성을 통해 혼돈을 탐구하는데, 이들은 모두 고정된 해밀토니안 하에서의 상태 진화에 의존한다." (7페이지, 토론).

이러한 상태 진화 기반 대안을 거부하는 이유는 측정 설정에 따라 벨 연산자 자체의 고유한 스펙트럼 속성을 직접 조사할 수 없기 때문이다. 이러한 이전 방법은 해밀토니안을 고정하고 상태의 진화를 관찰하는 반면, 본 논문의 방법은 측정 구성에 따라 스펙트럼 통계가 변하는 동적 개체로 벨 연산자를 취급한다. 이를 통해 "적분 가능성이 최대 벨 위반과 일치하는 미세 조정된, 대칭 강화 지점에서 나타난다"(7페이지, 토론)는 발견을 가능하게 한다. 이는 상태 진화 중심 분석을 통해서는 접근할 수 없는 결과이다. 또한, 이전에 언급했듯이 스핀-1/2 시스템에 대한 기존 방법은 고차 스핀 입자에 대해 "훨씬 덜 개발되었다"(2페이지)는 것은 본 연구의 핵심인 큐트릿 시스템에 적합하지 않았음을 의미한다.

FIG. 3. Histogram of RCS parameters λ resulting from fitting the RCS distribution of the Bell operator constructed from the PIBI (1) with random projectors. Here n = 25 and (p, q) = (25, 0), i.e. the lowest point in Fig. 2, but other irreps show a similar behaviour de- spite having a lower fraction of points exhibiting nonlocality

수학적 및 논리적 메커니즘

마스터 방정식

본 논문의 수학적 엔진의 절대적인 핵심은 특정 순열 불변 벨 부등식(PIBI)에 해당하는 기댓값을 갖는 에르미트 연산자인 벨 연산자 $B$이다. 본 논문은 이 연산자를 3식으로 정의한다.

$$ B = \sum_{i \in [n]} \sum_{a \in \{0,1\}} E_{a|x=0}^{(i)} + \sum_{i \neq j \in [n]} \sum_{a \in \{0,1\}} (E_{a|x=0}^{(i)} E_{a|x=1}^{(j)}) - 2 \sum_{i \neq j \in [n]} (E_{0|x=0}^{(i)} E_{1|x=1}^{(j)} + E_{0|x=1}^{(i)} E_{1|x=0}^{(j)}) $$

이 연산자는 그 최소 고유값이 벨 부등식의 최대 양자 위반을 직접 정량화하기 때문에 중심적이다. 이 연산자의 스펙트럼 속성, 특히 에너지 준위의 통계는 양자 혼돈과 적분 가능성을 특성화하기 위해 분석된다.

항별 분석

마스터 방정식(3식)을 조각별로 분석해보자.

• $B$: 이것은 벨 연산자 자체이다.

  • 수학적 정의: $n$개의 큐트릿으로 구성된 $3^n$차원 힐베르트 공간에서 작용하는 에르미트 연산자.
  • 물리적/논리적 역할: 그것은 특정 양자 상태 $\rho$와 측정 설정에 대한 PIBI(1식)의 위반을 정량화하는 유효 다체 해밀토니안 역할을 한다. 음수 기댓값은 비국소성을 나타낸다.
  • 이 구조인 이유: 연산자는 1체 및 2체 측정 항의 합으로 구성되어, 집합적 확률의 합인 PIBI의 구조를 반영한다.

• $\sum_{i \in [n]}$: 이것은 모든 $n$개의 당사자(부분계)에 대한 합계이다.

  • $i=1$부터 $n$까지의 합계.
  • 물리적/논리적 역할: 벨 부등식과 연산자의 순열 불변성을 반영한다. 모든 당사자는 대칭적으로 취급된다.
  • 합계인 이유: 개별 부분계 또는 부분계 쌍의 기여를 전체 시스템에 걸쳐 집계하기 위함이다.

• $\sum_{a \in \{0,1\}}$: 이것은 측정 결과 $a=0$ 및 $a=1$에 대한 합계이다.

  • 지정된 두 결과에 대한 합계.
  • 물리적/논리적 역할: 이것들은 PIBI(1식)에서 고려된 특정 결과이다. 본 논문은 결과 $a=2$가 무신호 제약 조건 $E_{2|x} = I - E_{0|x} - E_{1|x}$을 통해 암묵적으로 처리된다고 언급한다.
  • 합계인 이유: 다른 측정 결과와 관련된 확률 또는 연산자를 결합하기 위함이다.

• $E_{a|x}^{(i)}$: 이것은 당사자 $i$에 대한 국소 양수 연산자 값 측정(POVM) 연산자를 나타낸다.

  • $E_{a|x}^{(i)} = \mathbb{I}^{(i-1)} \otimes E_{a|x} \otimes \mathbb{I}^{(n-i)}$이며, 여기서 $E_{a|x}$는 단일 큐트릿에 대한 국소 POVM이고, $\mathbb{I}^{(k)}$는 $k$개의 부분계에 대한 항등 연산자이다. 국소 $E_{a|x}$는 유니터리 연산자 $U(\theta_x)$로부터 역 푸리에 변환과 유사한 표현식을 사용하여 파생된다. 본 논문의 예시(9식 및 $P_{00}$에 대한 설명)에 따르면, 결과 $a=0$의 경우, $E_{0|x} = \frac{1}{3} (U(\theta_x)^3 + U(\theta_x)^2 + U(\theta_x))$이고, $a=1$의 경우, $E_{1|x} = \frac{1}{3} (U(\theta_x)^3 + \zeta U(\theta_x)^2 + \zeta^2 U(\theta_x))$이다.
  • 물리적/논리적 역할: 이것들은 부분계 $i$에서 측정 설정 $x$를 수행하고 결과 $a$를 얻는 것에 해당하는 근본적인 양자 연산자이다. 그것들은 벨 부등식의 고전적 확률을 양자 역학적 관측량으로 변환한다.
  • 텐서 곱인 이유: 다른 부분계는 그대로 두고 특정 부분계 $i$에 작용하는 국소 측정을 나타내기 위함이다.

• $E_{a|x=0}^{(i)}$: 이것은 측정 설정 $x=0$ 및 결과 $a$를 갖는 당사자 $i$에 대한 국소 POVM이다.

  • 국소 측정의 특정 선택을 나타낸다.

• $E_{a|x=1}^{(j)}$: 이것은 측정 설정 $x=1$ 및 결과 $a$를 갖는 당사자 $j$에 대한 국소 POVM이다.

  • 다른 특정 국소 측정 선택을 나타낸다.

• $E_{a|x=0}^{(i)} E_{a|x=1}^{(j)}$: 이것은 서로 다른 당사자 $i$와 $j$에 대한 두 국소 POVM의 곱이다.

  • 이것은 국소 POVM의 텐서 곱으로, 효과적으로 $( \mathbb{I}^{(i-1)} \otimes E_{a|x=0} \otimes \mathbb{I}^{(j-i-1)} \otimes E_{a|x=1} \otimes \mathbb{I}^{(n-j)} )$이다.
  • 물리적/논리적 역할: 당사자 $i$가 설정 $x=0$을 사용하고 당사자 $j$가 설정 $x=1$을 사용하는 공동 측정, 둘 다 결과 $a$를 얻는 것을 나타낸다. 이러한 항은 2체 상관관계에 해당한다.
  • 곱셈(텐서 곱)인 이유: 별개의, 통신하지 않는 부분계에 대한 공동 이벤트를 설명하기 위함이다.

• $\sum_{i \neq j \in [n]}$: 이것은 모든 서로 다른 당사자 쌍 $(i, j)$에 대한 합계이다.

  • $i, j \in \{1, ..., n\}$이며 $i \neq j$인 합계.
  • 물리적/논리적 역할: 시스템의 모든 가능한 2체 상관관계를 설명하며, 다시 순열 불변성을 반영한다.
  • 합계인 이유: 모든 가능한 부분계 쌍의 기여를 집계하기 위함이다.

• 계수 $-2$: 이것은 가중치 인수이다.

  • 스칼라 승수.
  • 물리적/논리적 역할: 그것은 벨 부등식(1식)의 구조에서 직접 유래하며, 특정 상관관계 항은 이 특정 계수를 사용하여 빼서 부등식을 정의한다.
  • 이 값인 이유: 그것은 이 특정 벨 부등식의 특징적인 계수로, 고전적 경계를 설정하도록 설계되었다.

• $\zeta = e^{-2\pi i/3}$: 이것은 세제곱근의 단위근이다.

  • 국소 POVM 정의에 사용되는 복소수.
  • 물리적/논리적 역할: 3준위 시스템(큐트릿)에 대한 투영 측정을 구성하는 데 사용되는 역 푸리에 변환에서 발생한다. 그것은 다른 측정 결과를 정의하는 데 중요하다.

• $U(\theta_x)$: 이것은 측정 설정을 매개변수화하는 유니터리 연산자이다.

  • $U(\theta) := e^{i g(\theta)} D e^{-i g(\theta)}$이며, 여기서 $g(\theta) = g_0 + \sum_{l=1}^M \theta_l (g_l - g_0)$는 에르미트 행렬 $\{g_k\}$의 기저에서 구성된 에르미트 연산자이고, $D = \text{diag}(1, \zeta, \zeta^2)$는 대각 행렬이다. $\theta = (\theta_1, ..., \theta_M)$는 실수 매개변수의 벡터이다.
  • 물리적/논리적 역할: 이 매개변수화는 국소 측정이 투영적이고 유니터리임을 보장하여, 연속적인 변화와 측정 선택의 최적화를 허용하면서 근본적인 양자 역학적 구조를 보존한다.

솔직히 말해서, PIBI(1식)에서 벨 연산자(3식)로의 정확한 매핑에 대해 완전히 확신하지는 못한다. 본 논문은 3식이 해당 벨 연산자라고 명시하지만, 1식의 확률을 연산자(2식을 사용하여)로 직접 항별로 변환하면 1식에 있는 일부 1체 및 2체 항이 누락된 약간 다른 연산자 구조가 나올 것이다. 3식의 이러한 형태를 초래하는 암묵적인 단순화 또는 참조된 방법론[27, 28]의 특정 맥락이 있을 수 있다. 또한, 텍스트의 일반적인 $P_{a|x}(\theta_x)$ 공식은 $P_{00}$ 및 $P_{01|01}$에 제공된 특정 예시와 비교할 때 $U(\theta_x)$의 거듭제곱 및 $\zeta$ 인수에 오타가 있는 것으로 보인다. 나는 제공된 예시를 기반으로 국소 POVM 정의를 해석했다.

단계별 흐름

단일 추상 데이터 포인트, 즉 양자 측정의 개념이 수학적 기계를 통해 이동하여 벨 연산자를 구성하고 분석하는 과정을 상상해보자.

1. 측정 설정 입력: 프로세스는 $\theta = (\theta_0, \theta_1)$로 집합적으로 표시되는 측정 매개변수 세트로 시작된다. 이러한 매개변수는 두 설정 $x=0$ 및 $x=1$에 대한 국소 측정 선택을 정의한다.

2. 에르미트 연산자 구성(6식): 각 측정 설정 $\theta_x$에 대해 에르미트 연산자 $g(\theta_x)$가 구성된다. 이것은 기본 에르미트 행렬 집합($g_0, g_1, \dots, g_M$)을 매개변수 $\theta_l$에 의해 제공되는 가중치로 혼합하는 것과 같다. 이 단계는 후속 유니터리 연산자가 원하는 속성을 갖도록 보장한다.

3. 유니터리 연산자 생성(7식): 에르미트 연산자 $g(\theta_x)$는 유니터리 연산자 $U(\theta_x)$를 생성하는 데 사용된다. 여기에는 $i g(\theta_x)$를 지수화하고, 대각 행렬 $D$(단위근을 포함)로 켤레를 취하고, 다시 $e^{-i g(\theta_x)}$로 켤레를 취하는 것이 포함된다. 이는 $U(\theta_x)$가 투영 측정 정의에 중요한 고정된 스펙트럼을 유지하도록 보장한다.

4. 국소 POVM 정의: 각 $U(\theta_x)$로부터 결과 $a \in \{0,1,2\}$에 대한 국소 POVM $E_{a|x}$가 파생된다. 이것은 역 푸리에 변환과 유사한 연산을 사용하여 수행된다. 예를 들어, 결과 $a=0$의 경우, $E_{0|x}$는 $U(\theta_x)$의 거듭제곱(특히, $U(\theta_x)^3 + U(\theta_x)^2 + U(\theta_x)$)을 $1/3$로 스케일링하여 합산하여 형성된다. 다른 결과의 경우, 특정 단위근 $\zeta$가 계수로 도입된다.

5. 전역 POVM 확장: 각 국소 POVM $E_{a|x}$는 $n$-큐트릿 힐베르트 공간 전체에 작용하도록 확장된다. 당사자 $i$의 경우, $E_{a|x}^{(i)}$는 $i$-번째 큐트릿에 $E_{a|x}$가 작용하고 나머지 $n-1$개의 큐트릿에는 항등 연산자 $\mathbb{I}$가 작용함을 의미한다. 이것은 집합 벨 연산자의 빌딩 블록을 생성한다.

6. 벨 연산자 조립(3식): 이러한 전역 POVM $E_{a|x}^{(i)}$는 벨 부등식의 구조에 따라 결합된다.

   • 첫 번째 항은 설정 $x=0$ 및 결과 $a=0,1$에 대한 모든 단일 당사자 측정을 합산한다.
   • 두 번째 항은 당사자 $i$가 설정 $x=0$을 사용하고 당사자 $j$가 설정 $x=1$을 사용하며, 둘 다 동일한 결과 $a=0$ 또는 $a=1$을 얻는 모든 2체 공동 측정을 합산한다.
   • 2의 계수로 빼는 세 번째 항은 당사자 $i$가 설정 $x=0$을 사용하고 당사자 $j$가 설정 $x=1$을 사용하지만, 특정 다른 결과($0,1$ 또는 $1,0$)를 갖는 2체 공동 측정을 합산한다.
     이 전체 조립은 벨 연산자 $B(\theta)$를 생성한다.

7. 고유값 계산: $B(\theta)$가 구성되면 고유값이 계산된다. 이러한 고유값은 이 유효 해밀토니안의 가능한 "에너지 준위"를 나타낸다. 가장 작은 고유값 $\lambda_{min}$은 최대 양자 위반을 나타내므로 특히 중요하다.

8. RCS 계산 및 적합(5식): 순서대로 정렬된 고유값은 연속적인 수준 간격 비율(RCS)을 계산하는 데 사용된다. 이 분포 $P(r)$는 매개변수 $\lambda$를 추출하기 위해 보간 공식(5식)에 적합된다. 이 $\lambda$ 값은 이 메커니즘의 이 부분의 최종 출력으로, 시스템이 푸아송 통계($\lambda=0$, 적분 가능성)를 나타내는지 또는 위그너-다이슨 통계($\lambda=1$, 양자 혼돈)를 나타내는지를 나타낸다.

최적화 역학

메커니즘의 학습 및 수렴은 벨 부등식 위반을 최대화하는 최적 측정 설정 $\theta$를 찾는 데 집중되며, 이는 벨 연산자 $B(\theta)$의 가장 작은 고유값 $\lambda_{min}(B(\theta))$을 최소화하는 것으로 해석된다.

본 논문은 이를 일반적으로 수치적 시소 또는 확률적 경사 하강법과 같은 기술로 해결되는 비볼록 최적화 문제로 설명한다. 본질적으로 시스템은 $\theta$의 고차원 매개변수 공간을 반복적으로 탐색한다.

1. 손실 지형: 여기서 "손실 지형"은 함수 $\lambda_{min}(B(\theta))$이다. 목표는 이 지형의 가장 깊은 "계곡"을 찾는 것이다. 본 논문의 핵심 발견은 이 지형의 최적 지점(최대 위반)이 매우 특정한 스펙트럼 속성, 즉 푸아송 수준 통계($\lambda=0$)에 해당한다는 것이다. 이는 적분 가능성을 나타낸다.

2. 반복 업데이트:

   • 경사 기반 방법: 확률적 경사 하강법을 사용하는 경우, 알고리즘은 매개변수 $\theta$에 대한 $\lambda_{min}$의 경사를 계산한다. 이 경사는 가장 가파른 상승(또는 하강, 최소화하는 경우) 방향을 나타낸다. 그런 다음 매개변수 $\theta$는 음수 경사 방향으로 이동하여 반복적으로 업데이트되어 손실 지형의 계곡으로 점진적으로 하강한다.
   • 수치적 시소: 이는 다른 모든 매개변수를 고정하면서 하나의 매개변수 $\theta_l$를 최적화한 다음 다음 매개변수로 이동하고 수렴될 때까지 반복하는 것을 포함한다. 이는 전체 경사를 계산하는 것이 어렵거나 계산 비용이 많이 드는 비볼록 문제에 자주 사용된다.

3. 수렴 및 지형 모양: 본 논문은 적분 가능한 행동이 "미세 조정된" 특징임을 밝힌다. 이는 매개변수 공간에서 최적 영역이 매우 작고 취약함을 의미한다. 최적 지점 주변의 "푸아송 유사 행동의 부피"는 $n$이 증가함에 따라 축소되어, 적분 가능한 최소값이 고립되어 있고 혼돈스러운(위그너-다이슨) 통계로 이어지는 광대한 영역으로 둘러싸여 있음을 시사한다. 이는 최적화가 섬세한 작업이 되도록 하며, 최적 설정에서 약간의 편차만으로도 시스템이 혼돈 영역으로 빠르게 이동한다.

4. 창발적 대칭: 최적화 역학에 대한 중요한 통찰력은 최대 양자 위반 지점에서 패리티 대칭의 창발이다. 이는 최적화 과정이 성공할 때 벨 연산자 $B(\theta_{opt})$가 특정 패리티 연산자와 교환되는 측정 매개변수 세트 $\theta_{opt}$를 효과적으로 찾는다는 것을 의미한다. 이 교환은 패리티 고유값 기저에서 $B(\theta_{opt})$의 블록 대각선 구조로 이어진다(그림 5에 설명됨). 이러한 블록 대각선화는 에너지 준위를 분리하여 전체 스펙트럼에 걸친 수준 반발을 억제하며, 이는 관찰된 푸아송 통계(적분 가능성)의 구조적 설명이다. 따라서 최적화 메커니즘은 성공할 때 단순히 수치적 최소값을 찾는 것이 아니라, 벨 연산자의 스펙트럼 속성을 근본적으로 변경하는 기본 대칭이 창발하는 매개변수 공간의 지점을 찾는다.

결과, 한계 및 결론

실험 설계 및 기준선

그들의 주장을 엄격하게 검증하기 위해 저자들은 다중 입자 3준위 시스템, 즉 큐트릿을 위한 순열 불변 다중 입자 벨 부등식(PIBI)에 초점을 맞춘 실험 프레임워크를 설계했다. 핵심 아이디어는 유효 해밀토니안으로 해석될 수 있는 관련 벨 연산자 $B(\theta)$를 정의하고 다양한 측정 구성 하에서 그 스펙트럼 통계를 분석하는 것이었다. 매개변수 $\theta$는 각 당사자가 선택한 국소 측정 설정을 포함한다.

큐트릿과 같은 고차원 시스템에서 중요한 과제는 유니터리성과 벨 시나리오 구조를 유지하면서 국소 투영 측정의 매끄러운 매개변수화이다. 저자들은 매개변수 벡터 $\theta_x$로부터 양자 투영기 $P_{a|x}^{(i)}(\theta_x)$를 구성하는 유니터리 기반 매개변수화를 채택함으로써 이를 해결했다. 최적화 문제를 단순화하기 위해 PIBI의 순열 불변성을 활용하여, 최적 위반이 모든 당사자가 동일한 측정 쌍을 공유할 때 달성된다고 가정했다 ($\theta_x^{(i)} = \theta_x$ for all $i \in [n]$). 이는 최적화를 전역 매개변수 세트 $(\theta_0, \theta_1)$로 줄였다.

양자 혼돈을 진단하는 주요 도구는 연속적인 수준 간격 비율(RCS)인 $P(r, \lambda)$였으며, 이는 스펙트럼 펼치기의 복잡성을 피하는 강력한 지표이다. RCS 분포의 매개변수 $\lambda$는 중요한 보간 인자 역할을 한다: $\lambda=0$은 적분 가능한 행동을 나타내는 푸아송 통계를 의미하고, $\lambda=1$은 양자 혼돈의 특징인 위그너-다이슨 통계(구체적으로 가우시안 직교 앙상블 또는 GOE)에 해당한다.

그들의 수학적 주장이 실제로 테스트된 "희생자" 또는 기준 모델은 다음과 같았다.
1. 무작위 측정 설정: 일반적인 측정 선택이 혼돈스러운 행동을 초래함을 입증하기 위해, 저자들은 SU(3)에서 행렬을 샘플링하여 $10^3$개 이상의 무작위 투영기를 생성하고 결과 벨 연산자에 대한 RCS 분포를 계산했다. 이것은 적분 가능성이 일반적인 특징이 아님을 보여주는 제어 역할을 했다.
2. 최적 지점 주변의 교란: 관찰된 적분 가능한 행동의 견고성을 평가하기 위해, 그들은 최적 측정 설정을 체계적으로 교란하고 RCS 분포가 푸아송에서 위그너-다이슨 통계로 얼마나 빨리 전환되는지 관찰했다.
3. 다른 SU(3) 기약 표현(irrep): 분석은 $(p,q)$ 쌍으로 특징지어지는 다양한 기약 표현에 걸쳐 수행되어, 결과가 단일 부분 공간에 국한되지 않음을 보장했다.

실험은 $n=8$(PIBI가 비국소성을 감지하는 가장 작은 시스템 크기)부터 최대 $n=32$ 입자까지 수행되었으며, 이는 그들의 계산 한계였다. 결과는 이 범위에 걸쳐 일관되게 관찰되었으며, 그들의 결과의 타당성을 강화했다.

증거가 증명하는 것

핵심 메커니즘—최적 양자 측정, 비국소적 상관관계 및 적분 가능성 사이의 상호 작용—이 실제로 현실에서 작동했다는 결정적이고 부인할 수 없는 증거는 다면적이고 설득력 있다.

첫째, 가장 놀라운 증거는 RCS 분포의 직접적인 비교에 있다. 그림 1에서 볼 수 있듯이, $n=25$ 입자와 $(21,2)$ 기약 표현의 경우, 최적 측정 설정(파란색 곡선)으로 얻은 벨 연산자는 푸아송 분포($\lambda=0$)에 완벽하게 적합하며, 이는 적분 가능성의 명확한 신호이다. 대조적으로, 무작위 측정 설정(빨간색 곡선)이 사용될 때, RCS 분포는 GOE 위그너-다이슨 통계($\lambda=1$)와 밀접하게 일치하며, 이는 명백하게 양자 혼돈을 신호한다. 이 시각적 증거는 측정 설정 선택에만 기반한 적분 가능한 행동과 혼돈스러운 행동 사이의 전환을 강력하게 보여준다.

둘째, 그림 2는 $n=25$에 대한 다양한 기약 표현에 걸친 포괄적인 요약을 제공한다. 그것은 순열 대칭의 척도인 $\eta = p/(p+q)$에 대한 최대 양자 위반을 플롯한다. 결정적으로, 최대 벨 위반이 달성되는 기약 표현을 나타내는 파란색 점은 일관되게 푸아송 RCS 통계($\lambda=0$)를 나타낸다. 이것은 최대 비국소성을 적분 가능성과 직접적으로 연결한다. 일부 "주황색 점"은 중간 $\lambda$ 값($0 < \lambda < 1$)을 나타내지만, 이는 유한 크기 효과로 해석되며 진정한 반례가 아닌 전환 영역을 시사하며, 큰 $n$의 점근적 극한에서 푸아송 통계로 수렴할 것으로 예상된다.

셋째, 견고성 분석은 이러한 주장을 더욱 공고히 한다. 그림 3은 $(p,q)=(25,0)$에 대한 무작위 투영기의 $\lambda$ 매개변수 히스토그램으로, $\lambda$ 값이 1 근처에 강하게 집중되어 있음을 보여주며, 일반적인 측정 설정이 실제로 위그너-다이슨 통계를 초래함을 확인한다. 흥미롭게도, 무작위 설정에서도 높은 비율(이 경우 75.78%)이 여전히 비국소성을 감지했지만, 혼돈스러운 스펙트럼 서명을 가지고 있어 적분 가능한 영역의 고유한 특성을 강조한다. 또한, 그림 4는 푸아송 유사 RCS 분포를 산출하는 최적 지점 주변의 측정 설정 "부피"가 $n$이 증가함에 따라 빠르게 축소됨을 보여준다. 이것은 적분 가능한 행동의 취약하고 미세하게 조정된 특성을 입증하며, 이는 일반적인 속성이 아니라 최적 설정의 사라지는 작은 이웃 내에서만 나타난다.

마지막으로, 저자들은 최대 양자 위반 지점에서 창발적 패리티 대칭을 발견했다. 그림 5는 $n=15$ 큐트릿에 대한 최적 벨 연산자를 패리티 고유값 기저에서 보여주며, 명확한 블록 대각선 구조를 나타낸다. 패리티 연산자와 교환되는 벨 연산자의 결과인 이 블록 대각선화는 각 블록 내에서 푸아송 통계의 창발을 자연스럽게 설명한다. 블록의 분리는 전체 스펙트럼에 걸친 수준 반발을 억제한다. 최대 위반 고유 상태가 일관되게 특정 대칭 섹터(홀수 $n$의 경우 eeo, 짝수 $n$의 경우 eee)에 속한다는 사실은 이것이 수치적 인공물이 아니라 진정한 창발적 대칭임을 강력하게 증명하며, 이러한 구성의 특별한 특성을 강화한다.

한계 및 향후 방향

결과가 비국소성, 적분 가능성 및 양자 혼돈 사이에 심오한 연결을 제시하지만, 내재된 한계를 인식하고 향후 탐색을 위한 길을 고려하는 것이 중요하다.

한 가지 명확한 한계는 입자 수 $n$에 대한 계산적 제약이다. 벨 시나리오의 지수적 스케일링으로 인해 현재 분석은 $n=32$로 제한된다. 이는 일부 관찰, 특히 "전환" 영역(그림 2의 주황색 점)이 유한 크기 효과로 해석됨을 의미한다. 이 해석이 타당하지만, 결정적인 확인은 더 큰 $n$으로 확장하는 것을 요구할 것이며, 이는 현재 계산적으로 불가능하다. 향후 연구는 더 큰 시스템에 대한 더 효율적인 수치적 방법 또는 분석적 근사를 탐구하여 점근적 행동을 확인할 수 있다.

또 다른 측면은 연구된 벨 부등식의 특수성이다. 본 논문은 특정 2입력, 3출력 순열 불변 벨 부등식에 초점을 맞춘다. 최대 위반에서의 적분 가능성에 대한 이러한 스펙트럼 서명이 다른 유형의 벨 부등식 또는 더 복잡한 다중 입자 벨 시나리오로 일반화되는지는 열린 질문으로 남아 있다. 향후 연구는 다른 3출력 순열 불변 벨 부등식[27]을 체계적으로 조사하고 분석을 다른 입력 또는 출력 수로 확장할 수 있다.

모든 당사자에 대한 동일한 측정 설정($\theta_x^{(i)} = \theta_x$)이라는 가정은 최적화 문제를 크게 단순화한다. 그러나 각 당사자가 다른 무작위 측정을 설정할 수 있는 더 일반적인 시나리오는 푸아송 RCS 분포에서 훨씬 더 두드러진 편차를 초래할 가능성이 높다고 본 논문은 언급한다. 이 더 일반적인 사례를 탐색하면 적분 가능성이 창발하거나 파괴되는 조건에 대한 더 깊은 통찰력을 제공할 수 있다.

앞으로 이러한 결과는 몇 가지 흥미로운 토론 주제와 연구 방향을 열어준다.

1. 더 깊은 분석적 관계 및 대칭: 그림 2에서 관찰된 흥미로운 패턴은 동일한 초과 전하를 가진 기약 표현이 잘 정의된 곡선을 따라 정렬된다는 것으로, 최대 PIBI 위반과 SU(3) 부분 섹터의 순열 대칭 정도 사이의 더 깊은 분석적 관계를 강력하게 시사한다. 이러한 수학적 연결을 푸는 것은 양자 상관관계와 혼돈에 대한 더 근본적인 이해로 이어질 수 있다.
2. 양자 다체 시스템의 자체 테스트: 창발적 패리티 대칭과 최대 양자 위반 근처의 적분 가능한 행동은 양자 다체 시스템의 자체 테스트[46]를 위한 강력한 도구가 될 수 있다. 이러한 구성이 기본 양자 상태 및 측정 구조의 단순화된 특성화를 허용한다면, 양자 장치의 검증을 위한 새로운 실험 프로토콜을 위한 길을 열 수 있다.
3. 양자 혼돈에 대한 연산자 기반 관점: 본 논문은 벨 연산자 자체의 스펙트럼 통계가 측정 구성에 따라 변하는 양자 혼돈을 탐구하기 위한 새로운 연산자 기반 관점을 도입한다. 이것은 고정된 해밀토니안에 대한 상태 진화에 의존하는 전통적인 접근 방식과 대조된다. 이 관점을 더 탐구하면 양자 혼돈의 본질과 기본 양자 정보 특징과의 연결에 대한 새로운 통찰력을 얻을 수 있다. 이 프레임워크는 다른 연산자 기반 혼돈 진단과 어떻게 관련되며, 양자 정보의 다른 유형의 연산자로 일반화될 수 있는가?
4. 적분 가능성 및 혼돈 엔지니어링: 적분 가능성이 취약하고 미세하게 조정된 특징이라는 점을 감안할 때, 특정 작업을 위해 적분 가능한 행동을 보존하거나 유도하기 위해 양자 시스템 또는 측정 프로토콜을 설계할 수 있는가? 반대로, 복잡한 역학이 원하는 작업에서 혼돈으로의 전환을 활용할 수 있는가? 이것은 양자 제어 및 양자 컴퓨팅에 영향을 미칠 수 있다.
5. 고차 스핀 시스템의 역할: 스핀-1(큐트릿) 시스템에 대한 초점은 초냉각 원자 플랫폼에서 자연스럽게 발생하고 고유한 양자 혼돈 역학을 호스팅하기 때문에 특히 관련이 있다. 이러한 결과가 더 높은 스핀 시스템(d > 3의 큐딧)으로 어떻게 확장되는지에 대한 추가 조사는 고차원에서 특정 보편적 원리 또는 새로운 현상을 밝힐 수 있다.

FIG. 1. Ratio of Consecutive level Spacings (RCS) for the Bell oper- ators associated with the PIBI (1) for n = 25, obtained with optimal (blue) and random (red) measurement settings. Spectra are shown for the irreducible representation (p, q) = (21, 2), chosen for illus- tration, which has 825 eigenvalues in the symmetric subspace. Solid curves are fits to the interpolating RCS function in Eq. (5), which spans Poisson statistics (λ = 0, indicating integrability) to Wigner- Dyson statistics (λ = 1, indicating chaos). In the Wigner-Dyson case, the Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) seems to provide a better fit than the Gaussian Unitary Ensemble (GUE), suggesting that time- reversal symmetry is preserved in the chaotic regime FIG. 2. Maximal quantum violation of the PIBI (1) for n = 25 parties, restricted to the (p, q) irrep subsector of SU(3). The classical bound is βc = 0, so ⟨B⟩< 0 certifies nonlocality. The parameter η = p/(p+q) quantifies the degree of permutation invariance of each irrep, with η = 1 being the fully symmetric case. Blue points cor- respond to irreps (p, q) whose Bell operator exhibits Poisson RCS statistics, signalled by λ = 0, indicative of integrability. Orange points correspond to irreps for which the fitted RCS parameter is non- zero (0 < λ < 1). The histograms of the orange cases are fitted with values λ = 0.11 for the irrep (15, 2) and λ = 0.456 for (9, 8), sug- gesting a crossover regime between the Poisson and GOE limits, an interpretation further supported by the significant bin weight in their RCS histograms at small spacing values (see Supplementary Figures 1, 2 and Supplementary Tables I and II [28] for explicit values of all λ’s obtained and some illustrative histograms). Irreps shown in gray do not detect nonlocality and are included only for completeness. Dashed lines connect irreps with same p + 2q and p −q. The largest violations occur in the fully symmetric sector, as expected from the permutationally invariant structure of the Bell operator [3, 31] FIG. 5. Optimal Bell operator B for n = 15 qutrits in the parity eigen- basis, revealing a block-diagonal structure with four non-empty par- ity sectors (for odd n these are ooo, eeo, eoe, and oee). Gray boxes enclose the sectors as a visual guide. The color scale indicates ma- trix element magnitudes; zero entries are shown in white to highlight their sparsity