电可切换连续相位液晶菲涅尔波带片

背景与学术渊源

起源与学术渊源

本文所解决的问题源于新兴技术领域对先进光学元件日益增长的需求，尤其是在增强现实（AR）和虚拟现实（VR）系统方面。历史上，传统的折射光学元件，由玻璃或塑料制成，一直是聚焦和成像的首选。然而，其固有的笨重和重量使其不适用于现代AR/VR头显对轻量化、小型化和高效率的要求。这促使了对替代性平面光学元件的探索。

早期使用液晶（LC）制造此类元件的尝试面临着重大挑战。变形镜（DM）和空间光调制器（SLM）提供了波前控制，但引入了机械复杂性、高成本、可靠性问题，或像素化伪影（“纱窗”效应）以及高电压要求。其他基于液晶的方法，如光取向衍射光学和全息压印，通常是无源的且具有偏振选择性，这意味着它们的“切换”依赖于改变输入光的偏振，而不是通过电场主动控制相位分布。灰度光刻可以制造衍射透镜，但这些透镜是静态的，具有离散化的相位分布，缺乏电切换能力。

因此，这一特定问题的精确起源在于开发电可切换的连续相位光学元件的需求，以克服先前方法的局限性。传统的菲涅尔波带片（FZP）虽然薄而轻，但通常采用二元相位阶梯（交替透明和不透明的环形区域或离散的相位阶梯）。这种二元性质会导致多个衍射级，从而显著降低所需主级衍射的聚焦效率。迫使作者撰写本文的核心“痛点”在于，现有技术无法提供紧凑、高效、可主动切换且具有连续相位的光学元件，同时避免像素化或复杂、无源的切换机制，而这些对于下一代AR/VR和光子系统至关重要。作者寻求一种方法来制造具有平滑、连续相位分布的FZP，该分布可以通过电场主动调谐，从而最大化聚焦效率并实现动态焦距控制。

直观领域术语

• 菲涅尔波带片 (Fresnel Zone Plate, FZP): 想象一个平坦的透明圆盘，上面有同心圆环的图案，就像一个靶心。FZP不通过其形状来聚焦光，而是利用这些环通过微妙地延迟光线的不同部分，将光波精确地弯曲到单个焦点，使其成为一个非常薄的“透镜”。
• 液晶 (Liquid Crystal, LC): 想象一种由微小棒状分子组成的特殊流体。这些分子可以被排列在特定方向，就像一片草地。当施加电场时，这些“草叶”可以倾斜，改变光线穿过流体的方式。这使得可以通过电场控制光的路径。
• 双光子聚合直写 (Two-Photon Polymerization Direct Laser Writing, TPP-DLW): 想象一个超精细的3D打印机，它使用高度聚焦的激光束在透明液体中“绘制”。激光束照射到的地方，液体就会硬化成固体结构。这使得在液晶中创建极其微小、复杂的3D形状成为可能，本质上是“雕刻”光学元件。
• 相位分布 (Phase Profile): 这描述了光学元件施加在光波上的精确“形状”。它不是物理曲线，而是关于光波的每个部分在穿过材料时延迟或前进多少。连续相位分布意味着这种“形状”平滑变化，就像一个缓坡，而不是像楼梯那样突然的阶梯。
• 双折射 (Birefringence): 这是材料的一种特性，光线根据其偏振（其“方向”）以不同的速度传播。对于液晶来说，这是关键，因为施加电压可以改变液晶分子的取向，从而改变其双折射率，进而改变它们减慢或加速特定偏振光的速度。这就是实现FZP电可重构性的原因。

符号表

符号	描述
$\phi(r)$	FZP在径向距离 $r$ 处引入的相位移
$\lambda$	光的波长
$f$	FZP的焦距
$r$	透镜中心到径向坐标
$\Delta\phi$	LC层产生的总光学相位差
$d$	LC层的厚度
$n_{eff}(\theta)$	向列液晶的有效折射率，取决于取向角 $\theta$
$n_o$	LC的寻常折射率
$n_e$	LC的非寻常折射率
$\theta$	LC取向角与z轴（传播方向）的夹角
$K$	Frank弹性常数（单弹性常数近似）
$\epsilon_0$	真空介电常数
$\Delta\epsilon$	LC的介电各向异性（$\epsilon_e - \epsilon_o$）
$E$	外加电场强度
$\gamma_1$	LC的旋转粘度
$V_{pp}$	峰峰值电压
$V_{th}$	阈值电压
$T_{rise}$	电光响应的上升时间
$T_{fall}$	电光响应的下降时间

问题定义与约束

核心问题表述与困境

本文解决的核心问题是开发紧凑、轻量化且高效的光学元件以用于增强现实（AR）和虚拟现实（VR）头显等先进应用的长期挑战。这些应用需要能够进行复杂波前整形、动态聚焦和图像校正的主动光学元件，同时还要满足小型化、节能的要求。

输入/当前状态：
先前制造此类光学元件（特别是衍射透镜）的方法面临着显著的局限性：
1. 传统折射光学元件： 笨重、沉重且静态的玻璃或塑料透镜对于需要动态功能和紧凑集成的现代AR/VR系统来说是不切实际的。
2. 液晶（LC）空间光调制器（SLM）： 虽然提供动态聚焦和相位调制，但SLM存在像素化问题，这会引入衍射伪影（通常称为“纱窗”效应），并且通常需要高电压或复杂的电极设计，从而使集成复杂化。
3. 光取向基液晶衍射光学元件（例如，Pancharatnam-Berry器件）： 这些元件通常对偏振敏感且本质上是无源的。它们的“切换”依赖于改变输入偏振，而不是通过主动电调制相位分布本身。制造过程涉及专用的光取向层和多步工作流程，这会增加复杂性并导致可逆性问题和对环境因素的敏感性。
4. 全息压印： 该方法通常仅限于复制面内光轴分布，仅生成无源的几何相位器件，其相位函数无法通过电场抑制。
5. 灰度光刻： 该技术通过有限数量的高度级别来实现相位分布，从而制造衍射透镜。这意味着相位调制本质上是离散化的，不是连续可重构的，并且光学元件在制造后无法进行电切换。
6. 传统菲涅尔波带片（FZP）： 这些通常采用二元相位阶梯（交替透明和不透明的环形区域或离散的相位阶梯）。这种突变的相位变化通常会导致多个衍射级，从而显著降低主（期望）衍射级的总效率。

期望终点（输出/目标状态）：
作者旨在创造一类新型光学元件，它们是：
1. 电可切换： 能够通过施加电压进行主动开/关切换和动态焦距调谐。
2. 连续相位： 具有平滑、连续的三维相位分布，以最小化不希望的衍射级，并将聚焦效率最大化到单个主焦点（理论上为100%）。
3. 紧凑轻量： 适用于集成到AR/VR头显和其他先进光子系统中。
4. 变焦： 能够在两个或多个离散焦距之间切换，提供动态光学功率调节。
5. 节能： 在相对较低的驱动电压下工作。
6. 无需光取向层即可制造： 简化制造过程并提高器件的鲁棒性。

缺失环节/数学鸿沟：
确切的缺失环节是，需要一种稳健、可扩展的方法来在液晶介质中精确地“雕刻”出连续且电可调谐的折射率分布，从而制造出一种衍射光学元件，该元件将连续相位设计的低衍射损耗与液晶器件的主动电切换性相结合，同时避免了像素化和无源操作的局限性。

本文通过使用双光子聚合直写（TPP-DLW）将空间变化的LC取向“锁定”到连续的聚合物网络中来弥合这一鸿沟。该网络随后定义了连续的相位分布。数学框架包括：
- 精确定义FZP的展开相位分布 $\phi(r) = \frac{2\pi}{\lambda} (\sqrt{f^2 + r^2} - f)$，其中 $\lambda$ 是波长，$r$ 是径向坐标，$f$ 是焦距（公式 5）。
- 将此相位分布展开到 0-2$\pi$ 或 0-4$\pi$ 范围（例如，对于 2$\pi$ 展开的 FZP，$\frac{2k\pi}{\lambda} (\sqrt{f^2 + r^2} - f)$ 对于 $k=1,2,...$（公式 7），对于 4$\pi$ 展开的 FZP，$\frac{4k\pi}{\lambda} (\sqrt{f^2 + r^2} - f)$（公式 6））。
- 使用欧拉-拉格朗日方程，$K \frac{d^2\theta}{dz^2} - \epsilon_0 \Delta\epsilon E^2 \sin\theta \cos\theta = 0$（公式 10），在施加电场 $E$ 下模拟LC取向分布 $\theta(z)$，考虑弹性常数 $K$、介电常数 $\epsilon_0$ 和介电各向异性 $\Delta\epsilon$。这允许计算有效折射率 $n_{eff}(\theta)$ 和光学相位差 $\Delta\phi = \int_0^d n_{eff}(z)dz$（公式 11）穿过LC层。
- 根据期望的相位分布和 $\Delta\phi$ 与聚合高度之间的可调谐关系，推导出必要的聚合高度分布（图 2c, d）。

困境：
困扰先前研究人员的核心困境是光学效率（需要连续相位分布）与主动电切换性（需要动态材料响应）之间的权衡。
- 二元 FZP 和像素化 SLM 提供电切换性，但由于光线分布在多个衍射级中，效率低下。例如，本文显示，与相同尺寸和焦距的二元 FZP 相比，连续相位 FZP 的聚焦效率几乎翻倍（第 1 页，摘要，图 5b）。
- 相反，基于光取向或全息压印的连续相位元件可以实现高效率，但通常是无源的，这意味着它们的相位函数无法通过施加电压进行主动调制。它们的“切换”通常仅限于改变输入偏振，这不是真正的主动开/关或变焦控制。

本文旨在通过引入一种制造方法来解决这一困境，该方法能够实现连续相位分布和LC取向的主动电控制，从而同时实现高效率和切换性。

约束与失效模式

制造电可切换连续相位 FZP 的问题因几个严苛的实际约束而变得困难：

物理约束

1. LC层厚度： LC单元的固定厚度为20 µm。这限制了可实现的最大聚合高度（经验上限制在约7 µm，以防止整个层发生意外的垂直取向，这将导致控制取向分布的失败）。为了获得更快的电光响应，也希望LC层更薄，但这受到当前激光写入系统轴向体素尺寸的限制。
2. 体素尺寸和分辨率： TPP-DLW方法提供了精确的体素尺寸（横向直径约1 µm，轴向范围7 µm）。虽然精确，但有限的体素和外层菲涅尔区域的有限采样可能会限制实现的连续相位分布的保真度，可能导致光泄漏或焦距略有不同于设计值。需要更高数值孔径的物镜来产生更小的体素以实现更高分辨率的写入。
3. 材料配方敏感性：
   • 活性液晶单体（RM257）浓度： 20 wt.%或更高的浓度对于形成稳定且刚性的聚合物网络至关重要。较低的浓度（例如，15 wt.%）会导致网络形成不足，从而导致不均匀、模糊的结构和非理想的相位分布。
   • 光引发剂浓度： 选择1 wt.%的IR819是为了在写入条件下可靠聚合。
   • 双折射： 虽然更高的双折射可以扩展相位调制范围，但它可能会增加对锚定的敏感性并改变切换动力学，从而带来设计上的权衡。
4. 基板倾斜： 激光写入过程中残留的基板倾斜会在孔径上引入意外的线性相位斜坡，导致最终FZP相位分布的缺陷并降低聚焦性能。
5. LC弛豫和取向不均匀性： 在中等电压下，LC弛豫和取向的不均匀性可能导致局部双折射变化，影响相位分布和器件性能。

计算约束

1. 制造时间（串行过程）： TPP-DLW本质上是一个缓慢的、逐体素的串行写入过程。制造一个600 µm直径的FZP需要30分钟，而制造一个1.2 mm直径的FZP需要不到3小时。这对于扩展到通常需要用于AR/VR应用的厘米级整体孔径来说是一个重大的瓶颈。
2. 视场有限： TPP-DLW系统具有有限的视场，这进一步加剧了制造大面积器件的挑战。

操作约束

1. 上升时间慢： 器件在切换时表现出相对较慢的上升时间（6.734 s）。这归因于：
   • 制造电压： 在高电压（100 Vpp）下写入会将LC锁定在垂直取向状态，使得透镜仅在0 Vpp或低电压下有效。从高电压状态切换到低电压状态自然会更慢。
   • 混合取向向列（HAN）构型： 制造方法导致了HAN构型，引入了竞争边界条件和不均匀的取向分布，这减慢了电光响应，尤其是在弛豫过程中。
   • LC层厚度： 20 µm的LC层被认为太厚而无法快速切换，因为上升时间与LC层厚度的平方成正比（$T_{rise} \sim \frac{\gamma_1 d^2}{\pi^2 K}$）。
2. 双稳态（双状态）操作： 该器件被设计为支持两个离散焦距（例如，f=24 mm和f=48 mm）和一个电控关断状态，而不是在整个电压范围内连续可调的焦距。中间电压可能导致混合级响应，其中光学功率分布在多个衍射级之间，导致焦点展宽或部分重叠，并增加像差。
3. 偏振敏感性： LC FZP对偏振敏感，这意味着入射光的偏振状态必须与LC单元的摩擦方向平行，器件才能有效地操纵光。
4. 制造电压困境： 虽然在高电压（100 Vpp）下写入可以产生更平滑、更清晰的聚合物网络（图 3b），但会导致HAN构型和更慢的上升时间。相反，在0 Vpp（零偏压）下写入可能导致模糊且不太稳定的聚合物微结构，这是由于热涨落和向列取向在室温下对随机运动的敏感性增加（图 3a）。这提出了一个设计和制造的难题。

为什么选择这种方法

选择的必然性

作者选择在可聚合液晶（LC）混合物中使用双光子聚合直写（TPP-DLW），这不仅仅是渐进式改进，而是为了克服现有光学元件在增强现实（AR）和虚拟现实（VR）等先进应用中固有的根本性局限性而进行的必要范式转变。认识到传统方法不足，源于它们集体无法同时实现连续、电可切换、高效率、紧凑和可重构的相位分布。

传统的折射光学元件虽然效率高，但固有的笨重和重量使其不适用于轻量化的AR/VR头显。变形镜（DM）引入了机械复杂性、成本和可靠性问题，因为它们依赖于运动部件。空间光调制器（SLM）虽然提供了动态控制，但存在像素化问题，导致衍射伪影（通常称为“纱窗”效应），并且通常需要高电压或复杂的电极设计，使紧凑和节能集成复杂化。

更先进的基于液晶的方法也存在显著的缺点。光取向基液晶衍射光学元件（包括Pancharatnam-Berry器件）本质上是偏振敏感的且是无源的，这意味着它们的“切换”机制仅依赖于改变输入偏振，而不是主动开/关调制相位分布本身。这些器件也容易受到环境退化，并需要复杂的多步制造过程。全息压印，另一种制造技术，通常仅限于复制面内光轴分布，因此仅生成依赖于自旋的无源几何相位器件，其相位函数无法通过电场抑制。灰度光刻虽然能够制造大面积静态衍射光学元件，但会产生离散化的相位分布，该分布在制造后是固定的，缺乏连续可重构性或电切换性。

导致这种方法的关键理解是，累积认识到没有先前的方法能够在紧凑的尺寸下提供真正连续、电可调谐和主动的相位分布。需求是一种能够直接雕刻三维折射率分布、将其锁定到位，然后允许通过外部电场进行液晶的动态调制，从而在没有机械组件、像素化或依赖输入偏振变化的情况下实现动态聚焦的技术。TPP-DLW凭借其亚微米分辨率3D聚合物网络创建能力，成为精确定义和冻结可聚合液晶内空间变化的取向，从而实现所需的连续和可切换相位元件的唯一可行解决方案。

比较优势

这种新颖的在可聚合液晶中进行TPP-DLW的方法，通过其创建平滑、连续的三维相位分布的能力，该分布是电可切换且主动的，从而在定性上优于以前的黄金标准。

1. 增强的光学效率： 与将入射光分布在多个衍射级中的二元菲涅尔波带片（FZP）不同，连续相位设计通过平滑地改变相位来最小化不希望的衍射级。这种结构优势将光更有效地集中到主焦点，理论上保证了100%的效率。实验上，连续相位FZP的聚焦效率几乎是相同尺寸和焦距的二元FZP的两倍，测量强度比约为196%。
2. 真正的电切换性和可重构性： 以前的基于液晶的衍射元件通常是无源的，或者仅通过改变输入偏振来切换。该方法通过将聚合物结构直接嵌入电压可调的液晶层中，实现了真正的电开/关切换聚焦功能和变焦行为。操作状态由电场定义，而不是由照明偏振定义，提供了新的操作自由度。这允许使用施加电压在离散焦平面（例如24毫米和48毫米）之间进行动态焦距调节，这是固定相位分布或偏振相关器件所不具备的能力。
3. 紧凑性和小型化： 通过直接在薄液晶层内雕刻折射率，该方法避免了传统折射光学元件的体积和重量以及变形镜的机械复杂性。它还避免了SLM的像素化和复杂的电极设计，从而实现了更简单、更紧凑、更轻的光学元件，适用于小型化AR/VR系统。
4. 避免光取向层： TPP-DLW方法直接雕刻3D折射率，完全无需光取向材料。这简化了制造，消除了对湿气和氧气的敏感性，并消除了多步对准-涂层-固化工作流程，而这些工作流程在以前的液晶器件中常常增加了复杂性并限制了器件的均匀性。
5. 标量连续相位分布： TPP-DLW方法直接雕刻动态相位光程，实现了标量连续相位分布，该分布不会分裂成共轭级。这是全息压印产生的几何相位器件的一个关键优势，后者仅限于偏振选择性器件，并固有地产生自旋相关的共轭波前。

虽然本文没有深入探讨内存复杂度或高维噪声，但在光学效率、主动电控制和连续相位分布的简化制造方面，其定性优势是压倒性的。

与约束的对齐

所选择的在可聚合液晶中进行TPP-DLW的方法完美地符合下一代光学系统（特别是AR/VR应用）的严格要求。关键约束，从问题背景推断，包括：

1. 轻量化和紧凑的尺寸： 该方法通过在玻璃基板之间限制的微米级液晶层内雕刻聚合物网络来创建薄的平面光学元件。这天然地避免了传统折射光学元件的体积和重量，直接满足了AR/VR头显对轻量化和紧凑型元件的需求。
2. 高光学效率： 连续相位分布是TPP-DLW精确3D雕刻的直接结果，它最小化了不希望的衍射级。这确保了光线集中在主焦点，从而大大提高了效率（几乎是二元FZP的两倍），这对于明亮、沉浸式的AR/VR体验和节能操作至关重要。
3. 主动动态功能（波前整形、动态聚焦）： 围绕聚合区域的液晶取向的电可重定向能力允许实时切换焦距和开/关功能。这直接满足了对能够进行复杂波前整形、图像校正和动态聚焦的主动光学元件的需求，从而实现了用户特定视觉校正和实时焦平面调整等功能。
4. 小型化和集成： 液晶技术的微米级器件结构和低驱动电压，加上TPP-DLW的精确亚微米分辨率，使得这些元件成为小型化和无缝集成到复杂光子系统的理想选择。
5. 低功耗： 液晶器件以其相对较低的分子重定向功耗而闻名。通过在没有机械运动或高压像素阵列的情况下实现电切换，该解决方案保持了能源效率，这对于便携式AR/VR设备至关重要。
6. 最小衍射旁瓣/清晰的波前控制： 与SLM或二元FZP的离散化相位分布相比，连续相位分布固有地减少了衍射伪影和旁瓣。这导致了更清晰、更精确的波前控制，这对于高保真显示器和先进光学工程至关重要。

问题严苛要求与解决方案独特属性的“结合”是显而易见的：TPP-DLW提供了连续3D相位雕刻的精度，而可聚合液晶混合物则以紧凑、高效和主动的方式提供了可调谐性和电切换性，克服了先前技术的局限性。

替代方案的拒绝

本文基于其在实现连续相位、电切换性、高效率和紧凑性组合方面的根本性局限性，明确和隐含地拒绝了几种替代方法：

1. 传统折射光学元件： 由于其固有的笨重和重量，这些被拒绝，使其不适用于轻量化、移动AR/VR应用。它们也是无源的，缺乏动态可重构性。
2. 变形镜（DM）： 被拒绝是因为它们依赖于机械或静电执行器，由于运动部件的存在，引入了显著的制造复杂性、成本和可靠性问题。
3. 空间光调制器（SLM）： 主要因像素化而被拒绝，像素化会导致衍射伪影（“纱窗”效应）并降低光学效率。此外，它们通常需要高电压和复杂的电极设计，使集成到轻量化、节能的AR/VR头显中复杂化。所提出的方法减轻了像素化问题，从而提高了光学效率和更清晰的波前控制。
4. 光取向基液晶衍射光学元件（几何相位器件）： 这些器件本质上是无源的且对偏振敏感，因此被拒绝。它们的“切换”仅依赖于改变入射偏振，而不是主动开/关调制相位分布本身。它们还存在可逆性问题、对环境因素的敏感性以及复杂的多步制造流程。相比之下，TPP-DLW方法实现了主动电切换，独立于输入偏振。
5. 全息压印： 被拒绝是因为它通常仅限于复制面内光轴分布，仅生成依赖于自旋的无源几何相位器件。至关重要的是，它们的相位函数无法通过电场抑制，这意味着它们缺乏TPP-DLW方法所展示的主动电控制。所提出的方法实现了不会分裂成共轭级的标量连续相位分布，这是全息压印无法实现的能力。
6. 灰度光刻： 被拒绝是因为它通过有限数量的高度级别来实现相位分布，使其本质上是离散化的，而不是连续可重构的。这样制造的光学元件无法进行电切换，并且在制造后是固定的，未能满足动态、可调谐光学元件的要求。

本质上，所有这些替代方案都被认为不足，因为它们无法同时提供连续相位分布（导致高效率）、电切换性（用于主动、动态控制）和适合下一代光子系统（如AR/VR）的紧凑、鲁棒的尺寸。TPP-DLW在可聚合液晶中的方法独特地解决了这些组合要求。

Figure 3. Fabricating the Fresnel Zone Plate at different voltage conditions. Representative polarizing optical microscope (POM) images (with a red 660 nm to 694 nm bandpass filter, inserted after the halogen bulb of the microscope) of continuous phase FZPs fabricated at either a write voltage of (a) V = 0 Vpp or (b) at V = 100 Vpp. The single-headed white arrows indicate the orientations of the polarizer (P) and analyzer (A), while the single-headed yellow arrows represent the rubbing directions of the alignment layers

数学与逻辑机制

主方程

为本文创新——电可切换连续相位液晶菲涅尔波带片（FZP）提供动力的核心数学引擎，不是单个方程，而是一个紧密耦合的系统。该系统描述了理想的光学相位分布，它如何通过液晶（LC）层物理实现，以及该实现如何由电场动态控制。关键方程如下：

1. 理想菲涅尔波带片相位分布： 该方程定义了理想FZP为了聚焦光线而需要施加的目标相位移。
   $$ \phi(r) = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\sqrt{f^2 + r^2} - f\right) $$

2. 液晶引起的光学相位差： 该方程量化了光穿过液晶层时实际获得的相位移。
   $$ \Delta\phi = \int_0^d \frac{2\pi}{\lambda} n_{eff}(z) dz $$

3. 向列液晶的有效折射率： 该方程描述了液晶的取向如何影响光线经历的折射率。
   $$ n_{eff}(\theta) = \frac{n_o n_e}{\sqrt{n_e^2 \cos^2(\theta) + n_o^2 \sin^2(\theta)}} $$

4. LC取向分布的欧拉-拉格朗日方程： 该方程控制着液晶分子在弹性力和外部电场作用下的平衡取向。
   $$ K \frac{d^2\theta}{dz^2} - \epsilon_0 \Delta\epsilon E^2 \sin\theta \cos\theta = 0 $$

按项解剖

让我们逐一剖析这些方程中的每个项，以理解其数学定义、物理作用以及作者选择的算子。

方程 1：理想菲涅尔波带片相位分布
$$ \phi(r) = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\sqrt{f^2 + r^2} - f\right) $$

• $\phi(r)$:
  1) 数学定义： FZP在距离中心径向距离 $r$ 处引入的相位移（以弧度为单位）。
  2) 物理/逻辑作用： 该项代表了FZP必须施加在入射波前上的理想相位延迟分布，以将光聚焦。它是透镜光学功能的理论蓝图。
  3) 为何使用此算子： 该函数形式源于几何原理，即来自点光源（或准直光束的平行光线）的所有光线应在焦点处同相到达。
• $2\pi/\lambda$:
  1) 数学定义： 波数，$k$。
  2) 物理/逻辑作用： 这是一个转换因子，将物理光程差（以长度单位）转换为等效的相位角（以弧度为单位）。它按比例缩放路径差，其中 $2\pi$ 弧度对应一个完整的波长。
  3) 为何使用此算子： 使用乘法是因为相位移与光程差成正比。
• $\lambda$:
  1) 数学定义： 光的波长。
  2) 物理/逻辑作用： 这是FZP设计运行的入射光的特定波长。它是被操纵光的基本属性。
  3) 为何使用此算子： 它是波数中的除数，表明对于给定的光程差，较短的波长（较小的 $\lambda$）会导致较大的相位移。
• $f$:
  1) 数学定义： FZP的焦距。
  2) 物理/逻辑作用： 该参数定义了FZP处平行入射光线汇聚到单个焦点处的距离。它决定了透镜的聚焦功率。
  3) 为何使用此算子： 它是几何光程计算中的一个关键参数。从平方根项中减去 $f$ 确保在中心 ($r=0$) 处的相位为零，并向外增加，从而产生聚焦所需的相位分布。
• $r$:
  1) 数学定义： 透镜中心到径向坐标。
  2) 物理/逻辑作用： 该变量代表了FZP光轴的距离。FZP的相位分布是径向对称的，这意味着它仅取决于 $r$，而不取决于角度位置。
  3) 为何使用此算子： FZP是圆对称的衍射元件，因此其相位分布自然取决于到中心的径向距离。
• $\sqrt{f^2 + r^2}$:
  1) 数学定义： 边长为 $f$ 和 $r$ 的直角三角形的斜边。
  2) 物理/逻辑作用： 这代表了FZP上径向坐标为 $r$ 的点到沿光轴距离为 $f$ 的焦点处的几何距离。
  3) 为何使用此算子： 该项源自勾股定理，计算了在截面中点 $(r, 0)$ 到焦点 $(0, f)$ 的距离。

方程 2：液晶引起的光学相位差
$$ \Delta\phi = \int_0^d \frac{2\pi}{\lambda} n_{eff}(z) dz $$

• $\Delta\phi$:
  1) 数学定义： 总光学相位差（以弧度为单位）。
  2) 物理/逻辑作用： 该项代表了光穿过整个液晶层厚度时经历的累积相位移。这是器件实现的实际相位延迟。
  3) 为何使用此算子： 这是LC层的输出相位，需要匹配期望的FZP相位分布 $\phi(r)$（经过适当展开后）。
• $\int_0^d \dots dz$:
  1) 数学定义： 在厚度 $d$ 上的定积分。
  2) 物理/逻辑作用： 该算子将光在LC层中从 $z=0$ 到 $z=d$ 传播时的微小相位贡献累加起来。使用它是因为有效折射率 $n_{eff}(z)$ 可以在LC层沿传播方向（$z$轴）的整个厚度上连续变化。
  3) 为何使用此算子： 使用积分而不是求和是因为LC取向角 $\theta$（因此 $n_{eff}$）被假定在单元的厚度上连续变化，尤其是在文中提到的混合取向向列（HAN）构型中。
• $d$:
  1) 数学定义： LC层的厚度。
  2) 物理/逻辑作用： 这是光传播的液晶介质的物理范围。
  3) 为何使用此算子： 它定义了积分的上限，代表了液晶材料内的总光程长度。
• $n_{eff}(z)$:
  1) 数学定义： 有效折射率作为 $z$ 的函数。
  2) 物理/逻辑作用： 这是光在LC层深度 $z$ 处经历的折射率。它随液晶分子局部取向的变化而变化。
  3) 为何使用此算子： 它位于积分内部，因为相位累积取决于路径上每一点的折射率。

方程 3：向列液晶的有效折射率
$$ n_{eff}(\theta) = \frac{n_o n_e}{\sqrt{n_e^2 \cos^2(\theta) + n_o^2 \sin^2(\theta)}} $$

• $n_{eff}(\theta)$:
  1) 数学定义： 有效折射率，取决于取向角 $\theta$。
  2) 物理/逻辑作用： 这是光穿过双折射液晶时“看到”的折射率。它是可调相位调制的关键，因为它随液晶分子取向的变化而变化。
  3) 为何使用此算子： 这种特定形式源于液晶的各向异性性质，其中折射率取决于光线相对于分子取向的偏振。
• $n_o$:
  1) 数学定义： 寻常折射率。
  2) 物理/逻辑作用： 这是偏振光垂直于LC取向轴（光轴）时经历的折射率。它通常是两个主折射率中较小的一个。
  3) 为何使用此算子： 它是向列液晶的基本材料特性。
• $n_e$:
  1) 数学定义： 非寻常折射率。
  2) 物理/逻辑作用： 这是偏振光平行于LC取向轴（光轴）时经历的折射率。它通常是两个主折射率中较大的一项。
  3) 为何使用此算子： 它是向列液晶的另一个基本材料特性。
• $\theta$:
  1) 数学定义： 取向角与z轴（传播方向）的夹角。
  2) 物理/逻辑作用： 这是液晶分子长轴（取向）与光轴之间的夹角。该角度由施加的电场控制。
  3) 为何使用此算子： 它是决定有效折射率的变量，因为液晶具有双折射性。
• $\cos^2(\theta)$ 和 $\sin^2(\theta)$:
  1) 数学定义： 取向角的平方三角函数。
  2) 物理/逻辑作用： 这些项代表了LC取向相对于入射光偏振和传播方向在寻常轴和非寻常轴上的投影。它们决定了有效折射率中 $n_o$ 和 $n_e$ 的权重。
  3) 为何使用此算子： 它们源于各向异性材料中折射率张量的性质，特别是折射率椭球相对于光偏振的取向。分母中的平方和是计算单轴晶体有效折射率的特征。

方程 4：LC取向分布的欧拉-拉格朗日方程
$$ K \frac{d^2\theta}{dz^2} - \epsilon_0 \Delta\epsilon E^2 \sin\theta \cos\theta = 0 $$

• $K$:
  1) 数学定义： Frank弹性常数（使用单弹性常数近似，代表了弯曲、扭曲和伸展常数的平均值）。
  2) 物理/逻辑作用： 代表液晶抵抗其分子排列变形（弯曲、扭曲、伸展）的材料特性。较高的 $K$ 值意味着液晶更坚硬，更难重新定向。
  3) 为何使用此算子： 它是弹性力矩项中的系数，决定了试图维持LC首选排列的恢复力的强度。
• $\frac{d^2\theta}{dz^2}$:
  1) 数学定义： 取向角 $\theta$ 相对于 $z$ 的二阶导数。
  2) 物理/逻辑作用： 该项代表了单元厚度上LC取向分布的曲率或空间变化。它直接与弹性形变能相关。
  3) 为何使用此算子： 它是弹性力矩项的一部分，该力矩源于最小化LC的弹性自由能密度。
• $\epsilon_0$:
  1) 数学定义： 真空介电常数。
  2) 物理/逻辑作用： 代表真空允许电场能力的物理基本常数。它按比例缩放电场的影响。
  3) 为何使用此算子： 它是电磁学中的标准常数，用于将电场强度转换为能量密度。
• $\Delta\epsilon$:
  1) 数学定义： 介电各向异性（$\epsilon_e - \epsilon_o$）。
  2) 物理/逻辑作用： 平行于LC取向轴（$\epsilon_e$）和垂直于LC取向轴（$\epsilon_o$）的介电常数之差。它量化了LC分子与外部电场对齐的强度。
  3) 为何使用此算子： 它是决定电场对LC取向施加的介电力矩的材料特性。
• $E$:
  1) 数学定义： 外加电场强度。
  2) 物理/逻辑作用： 施加在LC单元上的外部电场，它对LC分子施加力矩，导致它们重新定向。这是切换FZP的控制输入。
  3) 为何使用此算子： 它被平方是因为介电力矩取决于电场的能量密度，而电场的能量密度与 $E^2$ 成正比。
• $\sin\theta \cos\theta$:
  1) 数学定义： 取向角正弦和余弦的乘积。
  2) 物理/逻辑作用： 该项代表了介电力矩的角依赖性。当 $\theta = \pi/4$（45度）时力矩最大，当 $\theta = 0$ 或 $\theta = \pi/2$（0或90度）时力矩为零，这意味着LC完全与电场对齐或垂直于电场。
  3) 为何使用此算子： 这种特定形式源于电场对各向异性介电材料施加的力矩的计算。它是LC欧拉-拉格朗日方程的基本组成部分。
• $= 0$:
  1) 数学定义： 方程设为零。
  2) 物理/逻辑作用： 这表示系统处于平衡状态。弹性力矩（第一项）与介电力矩（第二项）精确平衡，从而产生稳定的取向分布。
  3) 为何使用此算子： 这是最小化LC系统总自由能的条件，从而导致取向分布的稳定构型。

逐步流程

让我们追踪一个抽象数据点（代表一束光线）通过这个电可切换连续相位FZP的精确生命周期。

1. 期望相位分布蓝图： 首先，设计过程开始于计算FZP应施加在入射平面波上的理想相位移 $\phi(r)$，以在特定焦距 $f$ 处聚焦。这是理论目标，是FZP孔径上的连续相位图，由方程 $\phi(r) = \frac{2\pi}{\lambda} \left(\sqrt{f^2 + r^2} - f\right)$ 定义。该蓝图指导物理实现。然后将展开的相位分布展开到 0-2$\pi$ 或 0-4$\pi$ 范围，并使用欧拉-拉格朗日弛豫方法建立光学相位差（$\Delta\phi$）与所需聚合高度之间的相关性。这允许重建FZP所需的精确高度分布。

2. LC取向分布雕刻（制造）： 在制造过程中，使用双光子聚合直写（TPP-DLW）系统在液晶中“雕刻”聚合物网络。该网络局部将LC取向角 $\theta$ 锁定到特定的、空间变化的分布中。欧拉-拉格朗日方程（$K \frac{d^2\theta}{dz^2} - \epsilon_0 \Delta\epsilon E^2 \sin\theta \cos\theta = 0$）在设计阶段通过迭代求解，以确定在每个径向位置 $r$ 上实现期望的 $\phi(r)$ 所需的精确 $\theta(z)$ 分布，光线穿过LC。制造过程通常在高电压（例如，100 Vpp）下进行，以确保LC取向的垂直排列，然后由聚合网络锁定到位。这创建了一个静态的FZP“模板”。

3. 施加电场（切换输入）： 器件制造完成后，将外部电压施加到LC单元上。该电压在LC的未聚合区域内产生电场 $E$。该场作为控制输入，对自由移动的LC分子施加介电力矩。

4. LC分子重定向： 响应施加的电场 $E$，未聚合区域的LC分子会重新定向。这种重定向由欧拉-拉格朗日方程控制，该方程描述了弹性力（试图维持均匀或平滑的分布）与介电力（试图使分子与电场对齐）之间的平衡。这些区域的LC取向分布 $\theta(z)$ 会动态变化，直到达到新的平衡。

5. 有效折射率调制： 随着LC取向角 $\theta(z)$ 因重定向而改变，光线经历的有效折射率 $n_{eff}(\theta)$ 也随之改变。使用 $n_{eff}(\theta) = \frac{n_o n_e}{\sqrt{n_e^2 \cos^2(\theta) + n_o^2 \sin^2(\theta)}}$ 计算。较高的电压通常会导致 $\theta$ 更倾向于与电场对齐，从而改变 $n_{eff}$。

6. 相位延迟累积： 我们的抽象光线进入FZP，现在遇到这种空间和电压相关的有效折射率 $n_{eff}(z)$。当它穿过厚度为 $d$ 的LC层时，它会累积总相位移 $\Delta\phi$。通过沿路径积分 $n_{eff}(z)$ 来计算实际获得的相位移：$\Delta\phi = \int_0^d \frac{2\pi}{\lambda} n_{eff}(z) dz$。

7. 焦距切换： 通过仔细选择施加的电压 $E$，LC取向分布 $\theta(z)$ 被操纵，使得由此产生的 $\Delta\phi(r)$ 分布匹配特定的展开FZP相位分布（例如，对于 $f=24$ mm 在 0 Vpp 下的 $4\pi$ rad 分布，或对于 $f=48$ mm 在 2.1 Vpp 下的 $2\pi$ rad 分布）。这允许器件切换其焦距或开启/关闭聚焦功能。获得此特定相位分布的光线随后会汇聚到相应的焦点。

优化动力学

这里的“优化”与其说是传统意义上的迭代学习算法，不如说是为了实现期望的光学性能和切换性而进行的仔细设计、材料选择和制造参数调整。

1. 通过欧拉-拉格朗日弛豫实现平衡： 在设计阶段，使用弛豫方法求解欧拉-拉格朗日方程（$K \frac{d^2\theta}{dz^2} - \epsilon_0 \Delta\epsilon E^2 \sin\theta \cos\theta = 0$）。这个迭代过程从LC取向分布 $\theta(z)$ 的初始猜测开始，然后反复更新它，直到LC分子上的净力矩为零，这意味着系统已达到稳定的、最小能量的构型。这种数值“优化”确定了给定电场和边界条件下的理想 $\theta(z)$ 分布，进而决定了所需的聚合高度分布。

2. 材料和制造参数调整： 作者对材料成分和TPP-DLW参数进行了广泛的经验优化。这类似于塑造器件性能的“损耗景观”：

   • 活性液晶单体（RM257）浓度： 发现20 wt.%或更高的浓度至关重要。较低的浓度会导致“网络形成不足”和“不均匀性”，这相当于相位分布保真度“损耗”高且散射增加。增加RM257通过提供稳健的聚合物框架来减少这种“损耗”。
   • 光引发剂浓度： 选择1 wt.%的IR819是为了确保“可靠的聚合”。该参数直接影响聚合物网络的效率和完整性，从而最小化会降低光学质量的缺陷。
   • 制造电压： 在100 Vpp（高电压）下写入聚合物网络，与0 Vpp相比，产生了“更平滑的分布”。这表明在聚合过程中施加高电场有助于稳定LC取向，从而实现更低的相位分布“损耗”（更好的保真度）。
   • 聚合高度： 最大聚合高度限制在约7 µm。超过此限制会导致整个LC层发生垂直取向，从而导致“控制取向分布的完全失败”。这是一个关键约束，定义了设计空间中可行的操作区域。
   • TPP-DLW参数（分辨率、速度、功率）： 这些参数经过优化，以提供“足够的聚合剂量”，同时“最小化与过曝光相关的特征展宽”。这确保了聚合物网络的精确雕刻，这直接影响了实现的相位分布的准确性，从而影响了聚焦效率和像差。

3. 电压控制的切换动力学： 在操作中，器件不会“学习”，而是动态地响应施加的电压。

   • 类梯度力矩： 施加的电场 $E$ 在LC分子上产生介电力矩，如同一个“梯度”驱动取向角 $\theta$ 向与电场对齐的方向移动。这种“驱动力”与弹性力（抵抗形变）相平衡。
   • 离散状态收敛： LC系统会收敛到对应于特定施加电压（例如，0 Vpp 用于 $f=24$ mm，2.1 Vpp 用于 $f=48$ mm，10 Vpp 用于关断状态）的离散平衡状态（自由能景观的最小值）。本文指出，该器件是“双稳态（或双状态）变焦元件”，意味着它收敛到这些明确定义的状态，而不是提供连续调谐。中间电压可能导致“混合级响应”或“焦点展宽”，表明聚焦质量的“损耗”更高或状态不那么理想。响应时间（上升和下降时间）描述了它在这些状态之间转换的速度，由于旋转粘度、弹性常数和施加电压的相互作用（如方程（3）和（4）所述），下降时间远快于上升时间。这里的优化是为了确保这些转换是稳健且可重复的，可进行多次循环。

Figure 2. Parameters used for the design and fabrication of a laser-written Fresnel zone plate (FZP). a Unwrapped phase profile for the designed FZP. b Wrapped phase profile showing periodic discontinuities within the 2π rad range. c Correlation of Δϕ and polymerization height within the LC layer using the Euler–Lagrange relaxation method (see “Materials and methods”). d The reconstructed height profile for the FZP calculated from the optimized polymerization parameters. e 2D simulation of the spatial dependence of the phase profile of the continuous-phase FZP and (f) the corresponding polymerization height profile across the x–y plane for the continuous FZP Figure 1. Fabricating a Fresnel Zone Plate (FZP) in a polymerizable liquid crystal (LC). a Illustration of fabricating continuous phase FZP using two-photon polymerization direct laser writing (TPP-DLW) in a polymerizable LC cell. The TPP-DLW locks the liquid crystal (LC) director by triggering two-photon polymerization inside the LC layer to form a rigid polymer network. The fabrication process is usually performed under a high voltage applied to the LC, resulting in a homeotropic alignment. b Illustration of a fabricated continuous phase FZP without an external electric field applied and the LC regions locked in a homeotropic alignment by the localized polymer network

结果、局限性与结论

实验设计与基线

电可切换连续相位液晶菲涅尔波带片（FZP）的实验验证经过精心设计，旨在证明所提出的双光子聚合直写（TPP-DLW）方法的有效性和优势。核心机制涉及在可聚合向列液晶（LC）混合物中雕刻连续相位分布，然后对其进行电调谐。

器件在20 µm气隙的防平行摩擦LC玻璃单元中制造，填充了特定的可聚合LC混合物，该混合物包含78 wt.%的向列液晶E7、20 wt.%的活性液晶单体RM257和1 wt.%的光引发剂IR819。制造使用Spectra-Physics Mai Tai钛宝石激光器（780 nm，100 fs脉冲，80 MHz重复频率），由0.45 NA物镜聚焦。制造的一个关键方面是在TPP-DLW过程中施加高电压（100 Vpp），以确保LC取向的垂直排列，然后由聚合网络将其锁定到位。

为了严格证明其数学声明和FZP的实际功能，研究人员设计了几项关键实验和基线：

• 与二元FZP的比较： 在同一LC单元的不同位置制造了一个用于相同入射波长、尺寸和焦距的传统二元FZP。这作为直接的“受害者”基线，用于量化连续相位设计的效率提升。
• 两种FZP设计： 制造了两种不同的连续相位FZP：一种具有2π弧度展开相位分布（600 µm直径，30 mm焦距），用于开/关切换；另一种具有4π弧度展开相位分布（1.2 mm直径，24 mm焦距），用于演示变焦行为。
• 多模式表征：
  • 偏振光学显微镜（POM）： 用于直观地确认空间变化的相位分布和聚合区域的质量（图 3、图 4b、图 7a）。这提供了物理结构与设计匹配的定性证据。
  • 数字全息显微镜（DHM）： 用于定量提取3D相位图，允许将实验检索到的相位分布与模拟的理想分布进行直接比较（图 4c、图 7b,c）。这对于验证制造的相位分布的保真度至关重要。
  • 远场聚焦测量（CCD相机）： 使用633 nm He-Ne激光器照明FZP，并在不同传播距离和施加电压下使用CCD相机捕捉焦点（图 5a、图 8c,d、图 9）。这直接评估了聚焦性能、切换性和变焦能力。
  • 成像能力演示： 使用USAF 1951分辨率靶作为光学成像系统中的物体，以演示变焦FZP在不同焦距下形成清晰图像的能力（图 10）。
  • 长期稳定性测试： 在FZP连续在开（2.1 Vpp）和关（10 Vpp）状态之间循环时，使用光电二极管监测聚焦光功率24小时。这评估了器件在长时间运行下的鲁棒性和电光稳定性。

证据证明的内容

本文提出的证据明确证明了关于电可切换连续相位液晶菲涅尔波带片的几项关键声明：

• 卓越的聚焦效率： 连续相位FZP在聚焦效率方面彻底击败了其二元对应物。远场测量（图 5b）显示，与相同尺寸和焦距的二元FZP相比，连续相位FZP焦点处的归一化强度几乎翻倍，测量比率约为196%。这是无可辩驳的证据，表明连续相位设计有效地将光集中到单个衍射级，显著减少了功率分布到不希望的级，这是高保真光学系统的关键优势。

• 真正的电开/关切换： 对于2π弧度展开的FZP，电切换机制的核心功能得到了清晰的演示（图 5a）。在0 Vpp时，观察到了明亮锐利的焦点，表明FZP正在主动聚焦光线。至关重要的是，当施加10 Vpp电压时，焦点消失，远场图像变得模糊且黑暗。这明确证明了该器件可以被电切换为关断状态，停用其聚焦功能，而无需任何机械运动。

• 离散变焦行为： 4π弧度展开的FZP演示了一种新颖的变焦能力，在两个离散焦距之间切换。在0 Vpp时，器件产生一个在 $f = 24 \text{ mm}$ 处的锐利焦点。施加中间电压2.1 Vpp后，焦距有效加倍，导致在 $f = 48 \text{ mm}$ 处产生清晰的焦点（图 8c,d 和图 9）。在较高电压（例如，10 Vpp）下，焦点完全消失，证实了关断状态。使用USAF 1951靶（图 10）的成像实验进一步巩固了这一点，显示在24 mm（0 Vpp）和48 mm（2.1 Vpp）焦平面处都有清晰的图像。这表明施加的电压可以调谐相位分布以实现不同、明确定义的焦距。
• 制造的相位分布的高保真度： POM图像（图 4a,b, 图 7a）和定量数字全息显微镜（图 4c, 图 7b,c）的结合证实了制造的连续相位分布非常接近设计的理论分布。对物理结构与数学设计的这种验证是明确的证据，表明TPP-DLW方法成功地在LC层内雕刻了预期的3D折射率分布。
• 长期电光稳定性： 该器件表现出卓越的长期稳定性。一项为期24小时的连续循环实验，涉及超过 $1.4 \times 10^3$ 次在开（2.1 Vpp）和关（10 Vpp）状态之间的切换事件，未显示电光响应的系统性衰减或疲劳。开状态下的平均聚焦功率几乎保持不变，漂移小于平均功率的1%，这归因于预期的激光器和探测器漂移，而不是器件本身的固有退化。这证明了在重复电驱动下聚合物稳定相位分布和LC取向构型的鲁棒性。

局限性与未来方向

尽管提出的连续相位FZP代表了可重构衍射光学元件的重大飞跃，但本文坦诚地讨论了几项局限性，并提出了明确的未来发展途径。

局限性

• 制造缺陷与相位分布保真度： 尽管取得了成功，但本文承认，与理想高度分布的微小偏差会导致残余光泄漏和轻微的焦点展宽。这些缺陷源于三个主要原因：
  1. 基板倾斜： 激光写入过程中由于残留的基板倾斜而在孔径上产生意外的线性相位斜坡。
  2. LC不均匀性： LC弛豫和取向不均匀性，尤其是在中间电压下，会导致局部双折射变化。
  3. 体素尺寸和采样： 有限的体素尺寸和外层菲涅尔区域的有限采样限制了实现的4π分布的保真度。
     此外，在0 Vpp下写入，虽然对某些应用来说是理想的，但会导致“模糊且不太稳定的聚合物微结构”，这是由于热涨落和向列取向对室温下随机运动的敏感性增加。测量的4π FZP的相位分布约为11弧度，而不是理想的4π（约12.56弧度），这导致了轻微的失配和模糊的光斑。
• 切换速度慢： 器件的响应时间，特别是上升时间，相对较慢。测得的上升时间为6.734秒，而下降时间为0.245秒，较快。这种缓慢归因于：
  1. 制造电压： 在100 Vpp（高电压）下制造的FZP会将LC锁定在垂直取向状态，使得从高电压状态切换到低电压状态自然会更慢。
  2. 混合取向向列（HAN）构型： 这种构型引入了竞争边界条件，导致不均匀的混合取向分布，并由于锚定约束的分布重构而减慢了视观切换时间。
  3. LC层厚度： 20 µm的LC层相对较厚，由于上升时间与LC层厚度的平方成正比（$T_{rise} \sim \frac{\gamma_1 d^2}{\pi^2 K}$），这显著阻碍了快速切换。
• 离散变焦操作： 该器件被设计为双稳态（或双状态）变焦元件，在两个明确定义的焦平面之间切换，而不是提供连续可调的焦距。这些工作点之间的中间电压可能导致混合级响应，将光学功率分布在多个衍射级之间，并导致焦点展宽或部分重叠。
• 大孔径的规模化： 直接TPP-DLW制造厘米级整体孔径仍然是一个挑战，因为其固有的逐体素慢速写入过程和有限的视场。目前的器件是在毫米级尺度上演示的。

未来方向

这些发现为未来的研究和开发开辟了令人兴奋的途径，旨在解决当前的局限性并扩展功能：

• 提高制造精度和相位保真度：
  • 改进倾斜控制： 在写入过程中实施更好的机械俯仰-倾斜控制，并通过校正性线性相位项对设计进行数值预补偿，可以减轻基板倾斜问题。
  • 先进的写入参数： 使用更高数值孔径（NA）的物镜产生更小的体素尺寸和更精细的写入网格，以及基于波前校正的曝光（例如，基于SLM的像差补偿），可以提高制造精度和4π分布的保真度。
  • 制造过程中的温度控制： 为了克服在0 Vpp下写入时聚合物微结构模糊且不太稳定的问题，主动温度控制（例如，使用冷却台）可以在激光制造过程中稳定LC取向，并抑制热驱动的图案模糊。
• 提高切换速度和鲁棒性：
  • 优化器件结构： 未来的工作将侧重于优化写入条件和器件结构，以避免类似HAN的构型并保持传统的平面向列排列。在温度控制下，在0 Vpp下进行激光写入是一种有前途的方法。
  • 更薄的LC层： 使用更高NA的物镜来减小z体素尺寸将使得使用更薄的LC层成为可能，这对于实现更快的电光响应至关重要，因为切换时间与厚度成平方关系。
  • 光引发剂替代品： 将光引发剂IR819替换为对环境光不那么敏感的替代品（例如，IR651），可以实现更长的稳定性，尤其是在环境白光存在的情况下。
• 扩展功能和光谱范围：
  • 更宽的光谱可调谐性： 探索替代的LC配方可以实现FZP更宽的光谱可调谐性。
  • 更高的相位展开： 通过使用更高双折射的LC材料和更高NA的物镜，在20 µm的LC层厚度内实现6π弧度甚至8π弧度的展开是可行的，这将增强切换性，并可能产生更多的焦点状态。
  • 堆叠LC层： 堆叠具有更高展开FZP的多个LC层可以实现更大范围的焦距切换，从而显著增加器件的多功能性。
• 大规模应用的规模化：
  • 并行化： 为了克服TPP-DLW的串行特性，并行化技术，例如全息分束或干涉曝光以同时创建多个体素，可以显著减少制造时间，并实现厘米级光学元件。
  • 母版制造与复制： TPP-DLW方法可以作为高精度母版制造平台，生成具有纳米级表面保真度的单个连续相位模板。然后可以通过电铸将此母版转移到镍压印模具上，并使用UV纳米压印光刻以晶圆级吞吐量进行复制，从而为大面积、大批量生产提供了现实的途径。

这些未来的发展将进一步巩固连续相位LC FZP在下一代轻量化、节能和高性能光学系统中的作用，特别是在增强现实和虚拟现实、自适应光学和紧凑型成像系统等应用中。

Figure 5. Focusing characteristics of binary and continuous 2π rad wrapped Fresnel Zone Plates. a Images of the focal plane when the laser- written FZP was illuminated with a 633 nm He–Ne laser. The left image shows the appearance of a focal spot in the xy-plane and corresponding images for the xz- and yz-planes when no voltage is applied (in this case, the FZP is effectively active). The right image shows the disappearance of the focal spot when a voltage of 10 Vpp is applied, thereby deactivating the FZP. b Normalized intensity at the focal plane for the laser-written continuous phase FZP and a binary FZP (see “Materials and methods”) designed to have the same focal length and device diameter Figure 6. Comparison (simulations) of 2π and 4π rad wrapped continuous phase Fresnel Zone Plates. Simulated phase profile of a 4π rad wrapped FZP with a focal length of f = 24 mm (solid blue line) and a 2π rad wrapped FZP with a focal length of f = 48 mm (dashed red line) Figure 4. A 2π wrapped continuous phase Fresnel Zone Plate. a Simulated POM image of a wrapped continuous nematic LC FZP. b POM image of the fabricated continuous phase FZP when viewed with crossed polarizers obtained from experiments. The diameter of the FZP is 600 µm, and the focal length is f = 30 mm for a 20 µm thickness LC cell. The black and white arrows in (a, b) represent the orientations of the polarizer (P) and analyzer (A), respectively. The yellow single-headed arrow shows the orientation of the rubbing direction of the nematic LC device. The round particles in the fabricated patterns are spacer beads, which hold the thickness of the cell. c The phase profile of the FZP extracted from the results obtained on a digital holographic microscope

与其他领域的联系

数学骨架

纯粹的数学核心涉及设计用于波前操纵的径向对称相位函数，通过求解连续介质力学问题（各向异性介质在外部场下的欧拉-拉格朗日方程）对其进行动态修改，以及使用傅立叶光学模拟光传播，这是一个成熟的领域。

相邻研究领域

衍射光学

菲涅尔波带片（FZP）的核心概念，由其相位分布 $\phi(r) = \frac{2\pi}{\lambda} \left( \sqrt{f^2 + r^2} - f \right)$ 定义，是衍射光学的一个基本组成部分。本文通过创建连续的（而非二元的）相位分布以提高效率，并使其电可切换来扩展这一概念。用于模拟FZP光传播的标量衍射理论，特别是菲涅尔近似和基于快速傅里叶变换（FFT）的传播，是该领域标准的计算工具。
(Goodman, J. W. Introduction to Fourier Optics, 2017, MacMillan Learning)

自适应光学和空间光调制器

本文通过电切换焦距和开启/关闭透镜功能的能力，直接关联到自适应光学原理，这是一个专注于动态波前校正的领域。通过施加电场来重新定向液晶分子来动态控制光学相位分布，是许多液晶空间光调制器（LC-SLM）的操作机制。描述LC取向对电场响应的欧拉-拉格朗日方程，$K \frac{d^2\theta}{dz^2} - \epsilon_0 \Delta\epsilon E^2 \sin\theta \cos\theta = 0$，是理解和设计此类自适应元件的核心。
(Naumov, A. F. et al. Liquid-crystal adaptive lenses with modal control, 1998, Opt. Lett.)

软物质物理（液晶理论）

控制液晶材料本身行为的基本物理学，特别是其各向异性光学性质及其对外部电场的响应，是软物质物理的一个核心领域。欧拉-拉格朗日方程，它模拟了弹性力（由于分子排列）与电扭矩之间的平衡，是液晶连续理论的基石。理解弹性常数（$K$）、介电各向异性（$\Delta\epsilon$）和旋转粘度（$\gamma_1$）等材料参数对于预测和控制器件的光学性能和切换速度至关重要。
(Andrienko, D. Introduction to liquid crystals, 2018, J. Mol. Liq.)