Многомерная квантовая распределенная сеть с использованием запутанности по частотным каналам

Предыстория и академическая родословная

Истоки и академическая родословная

Проблема, рассматриваемая в данной статье, проистекает из непрерывного стремления к более безопасной и эффективной квантовой связи, в частности, в области квантового распределения ключей (КРК). Исторически протоколы КРК, такие как BB84, изначально основывались на поляризационном кодировании, которое, будучи простым и экономически эффективным, было ограничено двумерными квантовыми состояниями (кубитами) и подвержено сдвигам поляризации в оптических волокнах. Эти ограничения затрудняли масштабирование информационной емкости и поддержание надежности в реальных квантовых сетях.

Для преодоления этих "болевых точек" академическая область сместила фокус на исследование высокоразмерных квантовых состояний, известных как кудиты. Кудиты обладают большей информационной емкостью и повышенной устойчивостью к шуму по сравнению с кубитами. Появились различные методы кодирования кудитов, включая кодирование по временным каналам, орбитальному угловому моменту (OAM) и частотным каналам. Однако кодирование по временным каналам часто требовало сложных интерферометров для измерения состояний, что увеличивало сложность системы. OAM и кодирование по путям, хотя и перспективны, столкнулись с проблемами при плотной передаче в одномодовых волокнах, что является критически важным требованием для практических квантовых сетей.

Кодирование по частотным каналам, использующее степень свободы частоты одиночных фотонов, представляло собой убедительную альтернативу. Оно обеспечивало совместимость со стандартными телекоммуникационными длинами волн и готовыми к использованию волоконными устройствами, устойчивость к поляризационным нестабильностям и потенциал для распараллеливаемых операций. Однако ранние протоколы КРК с частотным кодированием, использовавшие боковые полосы или генерацию поднесущей, оказались несовместимыми с протоколами на основе запутанности и, что критически важно, не имели надежных доказательств безопасности против общих атак [27]. Этот фундаментальный пробел в безопасности был существенным ограничением.

Данная статья основывается на родословной частотного кодирования, которое совместимо с протоколами на основе запутанности и высокоразмерными кудитами. Предыдущие работы в этой конкретной области в основном были сосредоточены на кубитах ($d=2$) [40, 43, 44]. Таким образом, точное происхождение данной проблемы заключается в необходимости расширения доказанных преимуществ частотного КРК на основе запутанности с кубитов до высокоразмерных кудитов (в частности, $d=3$ кутритов) и демонстрации реконфигурируемой многопользовательской сети с повышенной скоростью генерации безопасного ключа и дальностью связи, устраняя ограничения предыдущих схем частотного кодирования, ограниченных только кубитами или менее безопасных. Авторы были мотивированы написать эту статью, чтобы расширить границы размерности и сетевой универсальности в КРК на основе запутанности с использованием кремниевой фотонной платформы.

Фундаментальное ограничение или "болевая точка" предыдущих подходов, которая заставила авторов написать эту статью, может быть суммирована следующим образом:
1. Ограниченная размерность и информационная емкость: Традиционное поляризационное кодирование ограничено двумерными кубитами, предлагая более низкую информационную емкость и устойчивость к шуму по сравнению с высокоразмерными кудитами. Предыдущие демонстрации КРК с частотным кодированием также в основном ограничивались кубитами, что ограничивало потенциал более плотной передачи информации.
2. Уязвимость к факторам окружающей среды: Поляризационное кодирование подвержено сдвигам поляризации в оптических волокнах, требуя активной компенсации и снижая надежность. Другие методы высокоразмерного кодирования, такие как OAM и кодирование по путям, испытывают трудности с плотной передачей в одномодовых волокнах, что необходимо для практических квантовых сетей дальнего действия.
3. Пробелы в безопасности раннего частотного кодирования: Пионерские протоколы КРК с частотным кодированием, использующие боковые полосы или генерацию поднесущей, были несовместимы с протоколами на основе запутанности и не имели всесторонних доказательств безопасности против общих атак, что делало их менее надежными для безопасной связи.
4. Отсутствие реконфигурируемости и масштабируемости: Существующие реализации КРК с частотным кодированием часто имели ограниченные возможности реконфигурации для различных потребностей пользователей или поддержки нескольких пользователей одновременно в сети. Пропускная способность коммерческих электрооптических модуляторов (ЭОМ) также ограничивает возможность эффективного смешивания широко разделенных частотных мод, что критически важно для масштабирования до еще более высоких размерностей.

Интуитивные термины предметной области

• Кудиты (Высокоразмерные квантовые состояния): Представьте себе обычный выключатель света, который может быть только ВКЛ или ВЫКЛ. Это похоже на кубит, имеющий два возможных состояния. Кудит — это как суперпродвинутый диммер, который можно установить на множество различных, дискретных уровней яркости (например, 3 уровня для кутрита, 4 для кукварты и так далее). Каждый уровень представляет собой уникальный фрагмент информации, позволяя одному кудиту нести гораздо больше данных, чем кубит.
• Кодирование по частотным каналам: Представьте себе радиоприемник с множеством различных, дискретных каналов. Вместо того чтобы передавать секретное сообщение, просто говоря "да" или "нет" (как кубит), вы передаете его, выбирая определенный радиоканал (частоту) из всего диапазона доступных каналов. Каждый канал представляет собой различную часть вашего секретного сообщения. Этот метод использует специфический "цвет" или "тон" света для кодирования информации.
• КРК на основе запутанности (Протокол BBM92): Представьте, что у Алисы и Боба есть по волшебной монете. Когда Алиса подбрасывает свою монету, монета Боба мгновенно показывает противоположную сторону, независимо от того, как далеко они находятся друг от друга. Они могут использовать эту магическую связь (запутанность) для создания общего секретного кода. Если злоумышленник попытается заглянуть в одну из монет, магическая связь нарушится, и Алиса с Бобом немедленно узнают, что их секрет скомпрометирован. BBM92 — это конкретное "правило игры" для того, как они используют эти магически связанные монеты для построения безопасного ключа.
• Микрорезонатор (МР): Представьте себе крошечный, идеально настроенный музыкальный инструмент, похожий на миниатюрный колокольчик или камертон, изготовленный из кремния. Когда вы "заставляете его звучать" лазером, он не просто издает один звук; он создает целый ряд очень специфических, равномерно расположенных музыкальных нот (частот). Эти ноты являются "частотными каналами", которые несут квантовую информацию, действуя как точный, компактный источник квантовых сигналов.
• Скорость генерации безопасного ключа (SKR): Это как "ограничение скорости" для того, насколько быстро Алиса и Боб могут безопасно обмениваться секретной информацией. Оно показывает, сколько бит истинно секретного кода они могут сгенерировать в секунду, даже если злоумышленник изо всех сил пытается подслушать. Более высокая SKR означает более быструю и эффективную удаленную безопасную связь.

Таблица обозначений

Обозначение	Описание
$d$	Размерность кудита (например, $d=2$ для кубитов, $d=3$ для кутритов)
$| \Psi \rangle$	Квантовое состояние пары фотонов
$n$	Индекс частотной моды
$\omega_p$	Частота накачивающего лазера
$FSR$	Свободный спектральный диапазон микрорезонатора
$P_c$	Оптическая мощность на чипе (мощность накачки)
$\Delta t_{cc}$	Окно совпадений (временной интервал для обнаружения пар фотонов)
$QBER$	Скорость ошибок квантовых битов
$SKR$	Скорость генерации безопасного ключа (бит в секунду)
$H_d(x)$	Обобщенная функция бинарной энтропии для $d$-уровневых систем
$R_{raw}^{dD}$	Средняя скорость сырых совпадений для $d$-мерных состояний
$e_Z, e_X$	Скорости ошибок квантовых битов в базисах Z и X соответственно
$g^{(2)}(0)$	Скорость корреляции второго порядка с оповещением (указывает на эмиссию нескольких пар)
$\alpha$	Общее затухание, приложенное к квантовым каналам (имитирует потери в волокне)

Определение проблемы и ограничения

Формулировка основной проблемы и дилемма

Основная проблема, решаемая данной статьей, заключается в разработке практической, масштабируемой и надежной сети квантового распределения ключей (КРК), способной использовать высокоразмерные квантовые состояния (кудиты) для повышения безопасности и информационной емкости.

Текущее состояние реализаций КРК часто опирается на кубиты (двумерные квантовые состояния), которые, будучи эффективными, обладают ограниченной плотностью информации и устойчивостью к шуму по сравнению с высокоразмерными аналогами. Существующие схемы высокоразмерного кодирования, такие как поляризация, временные каналы и орбитальный угловой момент (OAM), сталкиваются с собственным набором проблем. Поляризационное кодирование простое, но по своей сути ограничено $d=2$ и подвержено воздействию внешних факторов. Кодирование по временным каналам требует сложных интерферометров для измерения состояний, а кодирование OAM испытывает трудности с совместимостью в стандартных одномодовых оптических волокнах. Предыдущие демонстрации КРК с частотным кодированием либо были несовместимы с протоколами на основе запутанности (не имели доказательств безопасности), либо ограничивались кубитами, достигая скромных скоростей генерации безопасного ключа и дальности связи (например, [43] сообщили о 9 бит/с при затухании 51,5 дБ, а [44] достигли 110 бит/с на 30 км).

Желаемый конечный результат — это многомерная частотно-канальная КРК-сеть на основе запутанности, которая предлагает:
* Значительно более высокую информационную емкость и улучшенную устойчивость к шуму по сравнению с системами на основе кубитов.
* Совместимость с готовыми к использованию волоконными устройствами и плотной передачей в одномодовых волокнах, что делает ее пригодной для приложений квантовых сетей.
* Реконфигурируемость для удовлетворения конкретных потребностей пользователей, позволяющая использовать различные размерности кудитов ($d=2$ и $d=3$ демонстрируются, с потенциалом для более высоких $d$) на одном и том же волоконном оборудовании.
* Конкурентоспособные скорости генерации безопасного ключа (SKR) и расширенные диапазоны связи.
* Стабильную работу в течение длительных периодов времени, закладывая основу для городских оптоволоконных линий.
* Возможность одновременной поддержки безопасной связи между несколькими пользователями посредством частотного мультиплексирования.

Отсутствующее звено или математический пробел, который данная статья пытается преодолеть, — это практическая реализация и оптимизация КРК-сети на основе запутанности с частотным кодированием, которая может надежно генерировать, распределять и измерять многомерные запутанные состояния (кудиты) в единой реконфигурируемой аппаратной установке. Это включает точное определение квантовых состояний, их манипуляцию и процессы измерения для достижения безопасного распределения ключей. Статья направлена на экспериментальную проверку теоретических преимуществ высокоразмерного частотного кодирования путем демонстрации системы, доказывающей принцип действия, которая достигает высокой SKR и дальности связи при сохранении низких скоростей ошибок квантовых битов (QBER) для кудитов $d=2$ и $d=3$. Основная математическая структура для SKR и QBER в $d$-мерных системах, заданная уравнениями (4), (5), (6) и (7), должна быть переведена в надежную экспериментальную реализацию.

Болезненный компромисс или дилемма, в которой оказались предыдущие исследователи, и которую данная статья преодолевает, заключается в присущем напряжении между увеличением размерности кудита ($d$) и поддержанием производительности системы (SKR, QBER, дальность связи и сложность оборудования). Хотя более высокое $d$ теоретически предлагает большую информационную емкость и устойчивость к шуму, его практическая реализация часто сопряжена со значительными трудностями:
* Размерность против QBER: По мере увеличения размерности кудита $d$ количество ортогональных проекций в базисе измерения растет как $d(d-1)$, что приводит к более высокому соотношению случайных к общим подсчетам и, как следствие, к более высокому QBER. В статье отмечается, что $e^{3D}$ примерно в 1,8 раза выше, чем $e^{2D}$, при том же соотношении сигнал/шум. Это означает, что, хотя более высокое $d$ предлагает большую устойчивость к ошибкам, оно также по своей сути генерирует больше ошибок, требуя тщательной оптимизации.
* SKR против дальности связи: В статье прямо указано: "Как SKR, так и QBER увеличиваются с размерностью d, в то время как дальность связи уменьшается с увеличением d". Это подчеркивает прямой компромисс: оптимизация для более высокой SKR с более высоким $d$ может ограничить достижимое расстояние, в то время как более низкое $d$ (кубиты) может обеспечить более дальние расстояния ценой более низкой SKR.
* Сложность оборудования против эффективности измерения: Достижение более высоких размерностей в частотном кодировании требует смешивания частотных мод, которые находятся дальше друг от друга. Это ограничено пропускной способностью электрооптических модуляторов (ЭОМ). Хотя конфигурация PF-EOM-PF авторов позволяет использовать многомерные состояния, она в настоящее время позволяет измерять только одну проекцию в базисе суперпозиции за раз, в отличие от методов преобразования временных каналов, которые позволяют одновременное измерение. Это существенное ограничение для более высоких $d$.

Ограничения и режимы отказа

Проблема создания надежной, многомерной КРК-сети с частотным кодированием делает ее чрезвычайно сложной из-за нескольких суровых, реалистичных стен, с которыми столкнулись авторы:

• Физические и аппаратные ограничения:

  • Ограничение пропускной способности ЭОМ: Основным ограничением для масштабирования до более высоких размерностей является ограниченная пропускная способность коммерческих электрооптических модуляторов (ЭОМ), обычно около 40 ГГц. Это ограничивает возможность смешивания широко разделенных частотных мод, что необходимо для кодирования кудитов более высокой размерности. Для $d=4$ и $d=5$ требуемая генерация боковой полосы второго порядка "крайне неэффективна" при текущей установке, поскольку коэффициенты Бесселя $|J_{>3}(\mu)|$ составляют менее 1% от начальной интенсивности частотной моды. Это фактически ограничивает практическую размерность кудита, достижимую с текущей технологией ЭОМ.
  • FSR микрорезонатора и разрешение PF: Свободный спектральный диапазон (FSR) кремниевого микрорезонатора (21,23 ГГц) определяет расстояние между частотными модами. Хотя меньший FSR мог бы увеличить количество доступных каналов, разрешение Программируемых Фильтров (PF) накладывает нижний предел в 10 ГГц на FSR, ограничивая плотность упаковки каналов.
  • Насыщение генерации пар фотонов: При более высоких мощностях накачки ($P_c \geq 500 \mu W$) конкурирующие эффекты, такие как двухфотонное поглощение [48], насыщают генерацию пар фотонов. Это ограничивает яркость источника, что, в свою очередь, влияет на достижимую скорость генерации безопасного ключа.
  • Оптические потери: Общий бюджет потерь от генерации пар фотонов на чипе до детекторов значителен (17,5 дБ на пользователя, $\geq$ 20 дБ для базиса X). Потери при соединении чип-волокно (3,95 дБ) и вносимые потери от NF, PF и ЭОМ (1,5 дБ, 4 дБ и 3 дБ соответственно) вносят существенный вклад. Дополнительные 3 дБ потерь возникают в базисе X из-за того, что ЭОМ создает боковые полосы за пределами вычислительного пространства. Эти потери напрямую снижают соотношение сигнал/шум и ограничивают дальность связи.
  • Нестабильность окружающей среды: Хотя частотное кодирование устойчиво к поляризационным сдвигам, система подвержена тепловым и механическим колебаниям в оптических волокнах. Это может вызывать фазовые сдвиги, особенно влияющие на измерения в базисе суперпозиции (X) для более высоких размерностей. Петля обратной связи по стабилизации частоты системы может поддерживать стабильность только около 36 часов, после чего требуется повторная инициализация, что указывает на необходимость более надежной активной стабилизации фазы для полевого развертывания.

• Ограничения, основанные на данных и производительности:

  • Пороги QBER для безопасности: Безопасная генерация ключа возможна только в том случае, если QBER остается ниже определенных порогов, которые составляют 15,9% для $d=3$ и 11% для $d=2$. Превышение этих порогов приводит к отказу, при котором безопасный ключ не может быть извлечен.
  • Базовый фоновый шум: Некоррелированные события эмиссии нескольких пар, характеризуемые функцией автокорреляции второго порядка с оповещением $g^{(2)}(0)$, составляют значительный источник базового фонового шума. Это устанавливает нижнюю границу QBER в естественном базисе ($e_Z = 1/\text{CAR} = 4,7\%$ для кубитов), влияя на достижимую SKR.
  • Темновые токи: Темновые токи от сверхпроводящих нанопроволочных однофотонных детекторов (SNSPD) (порядка 350 Гц на детектор) становятся ограничивающим фактором для квантовых каналов с высоким затуханием, напрямую ограничивая максимальную дальность связи.
  • Эффекты конечной длины ключа: В реалистичных сценариях конечная строка ключа состоит из конечных блоков битов, что вносит статистические флуктуации и вероятности отказа ($\epsilon_{EC} = 10^{-10}$ для коррекции ошибок, $\epsilon_{sec} = 10^{-10}$ для усиления конфиденциальности). Эти эффекты конечного размера требуют дополнительных потерь ключа во время постобработки, снижая эффективную скорость генерации безопасного ключа по сравнению с асимптотическим режимом.

Эти ограничения в совокупности делают задачу построения высокоразмерной, частотно-канальной КРК-сети на основе запутанности formidable инженерной и научной проблемой, требующей тщательной оптимизации по нескольким параметрам и инновационного аппаратного дизайна.

Почему такой подход

Неизбежность выбора

Выбор авторами многомерной частотно-канальной запутанности для их квантовой распределенной сети (КРК) не был произвольным, а являлся прямым следствием ограничений, присущих другим установленным и развивающимся схемам кодирования при стремлении к высокоразмерной, масштабируемой и надежной квантовой связи. Статья косвенно подчеркивает эту неизбежность, систематически описывая недостатки альтернатив.

Осознание того, что традиционные "SOTA" методы (интерпретируя "SOTA" как другие распространенные схемы кодирования КРК), были недостаточными, возникло из определения основной проблемы: необходимости высокоразмерных квантовых состояний (кудитов) для достижения большей информационной емкости и повышенной устойчивости к шуму по сравнению со стандартными кубитами [9].
- Поляризационное кодирование, будучи простым и экономически эффективным для кубитов, по своей сути ограничено двумерными квантовыми состояниями и сильно подвержено сдвигам поляризации, что делает его непригодным для желаемого многомерного подхода [5-8].
- Для высокоразмерного кодирования временные каналы, орбитальный угловой момент (OAM) и кодирование по путям являются альтернативами. Однако кодирование по временным каналам требует сложных интерферометров для измерения состояний [12-15]. Кодирование по путям [16, 17] и кодирование OAM [18-20] сталкиваются со значительными проблемами при плотной передаче в одномодовых волокнах, что является практическим требованием для квантовых сетей. OAM, в частности, имеет ограниченную дальность связи, обычно менее 2 км [18-20, 60].
- Даже в рамках частотного кодирования пионерские протоколы, использующие боковые полосы или генерацию поднесущей, были признаны несовместимыми с протоколами на основе запутанности и не имели доказательства безопасности против общих атак [27].

Следовательно, подход частотного кодирования, использующий степень свободы частоты для кодирования логических квантовых состояний на одиночных фотонах, стал единственным жизнеспособным решением, способным поддерживать высокоразмерные кудиты (до $d=8$ продемонстрировано [28]), будучи совместимым с КРК на основе запутанности и предлагая практические преимущества для сетевых приложений.

Сравнительное превосходство

Этот подход частотного кодирования на основе запутанности демонстрирует качественное превосходство над предыдущими золотыми стандартами и другими методами высокоразмерного кодирования благодаря ряду структурных и операционных преимуществ.

Во-первых, его фундаментальная совместимость с высокоразмерными квантовыми состояниями (кудитами) напрямую приводит к более плотной передаче информации и повышенной устойчивости к шуму по сравнению с системами на основе кубитов [9]. Это прямой качественный скачок в плотности информации на фотон.

Во-вторых, метод использует готовые к использованию волоконные устройства для манипуляций на телекоммуникационных длинах волн, в частности, электрооптические модуляторы (ЭОМ) и программируемые фильтры (PF) [29-31]. Это позволяет осуществлять параллельные и независимые квантовые вентили [32], структурное преимущество, которое упрощает реализацию и обеспечивает гибкость. Возможность использования частотного мультиплексирования, зрелой технологии из классической телекоммуникации, позволяет одновременно поддерживать несколько пользователей и каналов на одном и том же оборудовании, как продемонстрировано сосуществованием 21 КРК-канала для кудитов $d=2$ и $d=3$.

В-третьих, кремниевая платформа для генерации пар фотонов предлагает высокую масштабируемость и высококачественное производство благодаря своей CMOS-совместимости. Высокая нелинейность кремниевых микрорезонаторов третьего порядка ($\chi^{(3)}$) ($n_2 = 5 \cdot 10^{-18} \text{м}^{-2}\text{Вт}^{-1}$) обеспечивает эффективную генерацию бифотонных частотных гребенок посредством спонтанного четырехволнового смешивания (SFWM) при комнатной температуре, что является значительным структурным преимуществом по сравнению с другими материальными платформами, такими как SiN ($n_2 = 3 \cdot 10^{-19} \text{м}^{-2}\text{Вт}^{-1}$) [40]. Это присущее материалу свойство и совместимость производства являются ключом к его подавляющему превосходству для интегрированной квантовой фотоники.

Наконец, по сравнению с другими схемами высокоразмерного кодирования:
- Он обеспечивает устойчивость к поляризационным нестабильностям, что является основным недостатком поляризационного кодирования.
- Он избегает сложных интерферометров, необходимых для кодирования по временным каналам.
- Он уникально подходит для плотной передачи в одномодовых волокнах, с которой испытывают трудности кодирование по путям и OAM [18-20]. Потенциал интеграции для частотного кодирования также выше, поскольку он требует меньше сложных компонентов, таких как поляризационные светоделители, многолучевые интерферометры или пространственные световые модуляторы (SLM), по сравнению с поляризационным, временным или OAM кодированием соответственно.

Гибкость реконфигурации системы для работы с различными размерностями кудитов ($d=2$ или $d=3$, с потенциалом для $d=5$) на одном и том же оборудовании позволяет оптимизировать скорость генерации безопасного ключа (SKR) и дальность связи в зависимости от конкретных условий канала, что является качественным преимуществом для адаптивных квантовых сетей.

Соответствие ограничениям

Выбранный подход частотного кодирования на основе запутанности идеально соответствует неявным ограничениям разработки практической, масштабируемой и надежной многомерной КРК-сети.

1. Высокоразмерные квантовые состояния (кудиты): Основа подхода — частотное кодирование, которое по своей природе совместимо с высокоразмерными квантовыми состояниями, или кудитами, продемонстрированными до $d=8$ [28]. Это напрямую решает проблему увеличения информационной емкости и устойчивости к шуму.
2. КРК на основе запутанности: В статье явно реализована "многомерная частотно-канальная КРК-сеть на основе запутанности BBM92", что соответствует требованию протокола без доверенных узлов с превосходной безопасностью и масштабированием по расстоянию по сравнению с схемами подготовки и измерения [3, 4].
3. Масштабируемость сети и поддержка нескольких пользователей: Частотное кодирование естественным образом поддерживает частотное мультиплексирование, технику, хорошо зарекомендовавшую себя в классической телекоммуникации. Это позволяет одновременную работу нескольких КРК-каналов (продемонстрировано 21 параллельный двухпользовательский канал) на общем оборудовании, способствуя масштабируемости сети и доступу нескольких пользователей [40].
4. Практичность и телекоммуникационные длины волн: Система работает на телекоммуникационных длинах волн (около 1550 нм) и использует коммерческие, готовые к использованию волоконные устройства, такие как ЭОМ и PF, для манипуляции кудитами [29-31]. Это обеспечивает практическое развертывание в существующей волоконной инфраструктуре.
5. Устойчивость к шуму и нестабильности: Частотное кодирование обеспечивает внутреннюю устойчивость к поляризационным нестабильностям, распространенной проблеме в волоконно-оптической квантовой связи, и позволяет осуществлять распараллеливаемые операции, способствуя общей стабильности системы [18-20]. Продемонстрированная стабильная работа в течение 21 часа дополнительно подтверждает эту надежность.
6. CMOS-совместимость и интеграция: Использование кремниевого микрорезонатора, изготовленного по CMOS-совместимой технологии, обеспечивает путь к высокой масштабируемости и высококачественному производству. Эта кремниевая платформа имеет решающее значение для эффективной генерации и манипуляции парами фотонов, закодированных по частотным каналам, что соответствует потребности в интегрированных квантовых устройствах [40-42].
7. Реконфигурируемость: Система спроектирована как реконфигурируемая, позволяя ей удовлетворять конкретные потребности пользователей путем переключения между кодированием $d=2$ (кубиты) и $d=3$ (кутриты) на одном и том же оборудовании. Эта гибкость позволяет оптимизировать скорости генерации безопасного ключа для различных дальностей связи, что является ключевым требованием для адаптивных квантовых сетей.

Отклонение альтернатив

В статье представлены четкие обоснования отклонения нескольких альтернативных подходов к кодированию КРК, подчеркивая их фундаментальные ограничения для конкретных целей данной работы: многомерная, масштабируемая и надежная КРК на основе запутанности.

• Поляризационное кодирование: Этот метод, широко используемый для высокопроизводительных КРК-каналов благодаря своей простоте и экономической эффективности, явно отклоняется для высокоразмерных приложений, поскольку он "подвержен сдвигам поляризации и может реализовывать только двумерные квантовые состояния" [5-8]. Цель использования кудитов для увеличения информационной емкости и устойчивости к шуму немедленно делает поляризационное кодирование недостаточным.

• Кодирование по временным каналам: Хотя и способно к высокоразмерным состояниям, кодирование по временным каналам требует "сложных интерферометров для измерения состояний" [12-15]. Это добавляет значительную сложность к оборудованию, делая его менее практичным для масштабируемого сетевого развертывания по сравнению с более простым частотным кодированием.

• Орбитальный угловой момент (OAM) и кодирование по путям: Отмечается, что эти методы "не могут обеспечить плотную передачу в одномодовых волокнах" [18-20]. Это критическое практическое ограничение для квантовых сетей, предназначенных для работы через существующую волоконную инфраструктуру. Кроме того, кодирование OAM обычно достигает "менее 2 км дальности связи" [60], что значительно ниже желаемых дальностей для городских или междугородних КРК. В статье также говорится, что кодирование по путям, несмотря на зрелость кремниевой фотоники, было продемонстрировано только для протоколов КРК типа "подготовка-измерение", при этом коммуникации на основе запутанности остаются в значительной степени неисследованными [16, 17].

• Пионерское частотное кодирование (боковые полосы/фаза поднесущей): Статья отличает свое частотное кодирование от более ранних частотных протоколов КРК, которые использовали боковые полосы или генерацию поднесущей. Эти пионерские методы "были показаны как несовместимые с протоколами на основе запутанности и в настоящее время не имеют доказательства безопасности против общих атак [27]". Эта фундаментальная несовместимость с КРК на основе запутанности, основным требованием данной работы, привела к их отклонению.

Таким образом, авторы систематически отклонили эти альтернативы из-за их присущих ограничений в размерности, сложности оборудования, совместимости со стандартной волоконной инфраструктурой или фундаментальной несовместимости с протоколами на основе запутанности, тем самым укрепив частотное кодирование как наиболее подходящий выбор.

Figure 6. a) Power meter received power, filtered out by the notch filter versus the basic scan of the pump frequency, with steps of 1 pm, around the resonance mode near 1540 nm. b) Power meter received power versus the Fine Scan (FSC) of the pump frequency, with steps of 0.1 pm. The red horizontal dotted line shows the threshold above which the active fre- quency stabilization script will maintain the power. The red dotted line is an eye-guide on the part of the resonance that the active frequency stabilization tries to keep the frequency in

Математический и логический механизм

Основное уравнение

В основе механизма квантового распределения ключей (КРК) данной статьи лежат два фундаментальных уравнения. Первое описывает запутанные пары фотонов, которые служат носителями квантовой информации, а второе количественно определяет конечную цель: скорость генерации безопасного ключа.

Квантовое состояние пары фотонов, излучаемой в пределах частотного гребня, задается как:
$$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^{N} e^{i\phi_n} |I_n\rangle |S_n\rangle$$

Скорость генерации безопасного ключа (SKR) для $d$-мерного состояния, которая является основным показателем производительности, выражается как:
$$SKR_{dD} = \frac{1}{2} R_{raw}^{dD} [\log_2(d) - fH_d(e_Z) - H_d(e_X)]$$

Поэлементный анализ

Рассмотрим эти уравнения, чтобы понять каждый компонент этого математического двигателя.

Для уравнения квантового состояния:
$$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^{N} e^{i\phi_n} |I_n\rangle |S_n\rangle$$

• $|\Psi\rangle$: Это вектор квантового состояния пары фотонов.
  • Математическое определение: Вектор в гильбертовом пространстве, представляющий совместное квантовое состояние двух запутанных фотонов.
  • Физическая/логическая роль: Он представляет собой "сырье" КРК-системы — запутанное частотно-канальное состояние, генерируемое кремниевым микрорезонатором. Это состояние является когерентным суперпозицией, что означает, что фотоны существуют в нескольких частотных модах одновременно до измерения.
• $N$: Это количество доступных частотных мод.
  • Математическое определение: Целое число, представляющее верхний предел суммирования.
  • Физическая/логическая роль: Оно определяет размерность частотного гребня, которая практически ограничена пропускной способностью Программируемого Фильтра (PF). Большее $N$ позволяет кодировать более высокую размерность, потенциально увеличивая информационную емкость.
• $\frac{1}{\sqrt{N}}$: Это нормализующий множитель.
  • Математическое определение: Скалярный коэффициент.
  • Физическая/логическая роль: В квантовой механике полная вероятность обнаружения системы в любом возможном состоянии должна быть равна 1. Этот множитель обеспечивает правильную нормализацию квантового состояния $|\Psi\rangle$.
• $\sum_{n=1}^{N}$: Это оператор суммирования.
  • Математическое определение: Он указывает на сумму членов от $n=1$ до $N$.
  • Физическая/логическая роль: Он означает, что пара фотонов существует в суперпозиции различных пар частотных мод. Это суть запутанности в данном контексте — фотоны коррелированы по этим модам.
  • Почему суммирование: Запутанность по своей сути является когерентной суперпозицией. Суммирование математически представляет эту комбинацию различных, но одновременно существующих возможностей. Это не классическая смесь вероятностей, которая могла бы включать умножение или взвешенные суммы.
• $e^{i\phi_n}$: Это фазовый множитель для каждой моды.
  • Математическое определение: Комплексная экспонента, где $\phi_n$ — остаточная спектральная фаза для $n$-й моды.
  • Физическая/логическая роль: Он учитывает любые фазовые вариации в различных частотных модах. Эти фазы могут возникать в процессе генерации фотонов или при распространении через оптическую систему. В идеале, для идеальной запутанности эти фазы были бы однородными или точно контролируемыми.
• $|I_n\rangle$: Это представляет состояние фотона-идентификатора в частотной моде $n$.
  • Математическое определение: Вектор кет, представляющий одиночный фотон в определенной частотной моде (канале).
  • Физическая/логическая роль: Он обозначает один из двух запутанных фотонов, "идентификатор", занимающий определенный частотный канал $n$.
• $|S_n\rangle$: Это представляет состояние фотона-сигнала в частотной моде $n$.
  • Математическое определение: Вектор кет, представляющий одиночный фотон в определенной частотной моде (канале).
  • Физическая/логическая роль: Он обозначает другой запутанный фотон, "сигнал", занимающий тот же частотный канал $n$.
  • Почему неявное тензорное произведение: Обозначение $|I_n\rangle |S_n\rangle$ неявно представляет тензорное произведение $|I_n\rangle \otimes |S_n\rangle$. Это означает, что это два разных фотона, каждый в своем квантовом состоянии, образующие совместное состояние. Они коррелированы, но остаются отдельными сущностями.

Для уравнения скорости генерации безопасного ключа:
$$SKR_{dD} = \frac{1}{2} R_{raw}^{dD} [\log_2(d) - fH_d(e_Z) - H_d(e_X)]$$

• $SKR_{dD}$: Это скорость генерации безопасного ключа для $d$-мерных состояний.
  • Математическое определение: Скалярное значение, обычно измеряемое в битах в секунду (бит/с).
  • Физическая/логическая роль: Это конечная мера успеха КРК-системы. Она количественно определяет, сколько истинно безопасных битов информации может быть сгенерировано в единицу времени между Алисой и Бобом.
• $\frac{1}{2}$: Это коэффициент отсева.
  • Математическое определение: Скалярный коэффициент.
  • Физическая/логическая роль: В протоколах КРК на основе запутанности, таких как BBM92, Алиса и Боб должны выбрать один и тот же базис измерения для того, чтобы их результаты были полезны. Поскольку они выбирают базисы случайным образом и независимо, в среднем они будут выбирать один и тот же базис в 50% случаев. Этот коэффициент учитывает отброшенные раунды.
  • Почему умножение: Это прямой масштабирующий коэффициент, который уменьшает эффективную скорость полезных событий.
• $R_{raw}^{dD}$: Это средняя скорость сырых совпадений для $d$-мерных состояний.
  • Математическое определение: Скалярное значение, обычно в герцах (Гц) или килогерцах (кГц). Оно определяется Уравнением (6) в статье: $R_{raw}^{dD} = \sum_{i=0,j=0}^{d-1} (C_{ij}^Z + C_{ij}^X) / 2\tau$.
  • Физическая/логическая роль: Это скорость, с которой Алиса и Боб обнаруживают совпадающие пары фотонов при измерении в одном и том же базисе. Это сырая пропускная способность данных до любых соображений безопасности или коррекции ошибок.
• $[\dots]$: Этот член в скобках представляет собой чистое безопасное содержание информации на обнаруженную пару.
  • Математическое определение: Разность логарифмических членов и членов энтропии.
  • Физическая/логическая роль: Этот член количественно определяет, сколько безопасной информации может быть извлечено из каждого успешного события совпадения, после учета присущей кудиту информационной емкости, ошибок, наблюдаемых в базисе Z (для коррекции ошибок), и потенциальной утечки информации злоумышленнику (Еве) из-за ошибок в базисе X (для усиления конфиденциальности).
• $\log_2(d)$: Это информационная емкость на кудит.
  • Математическое определение: Логарифм по основанию 2 от размерности кудита $d$.
  • Физическая/логическая роль: Он представляет собой максимальное теоретическое количество информации (в битах), которое может быть закодировано в одном $d$-мерном квантовом состоянии (кудите). Для кубита ($d=2$) это 1 бит. Для кутрита ($d=3$) это $\log_2(3) \approx 1,58$ бита.
  • Почему логарифм: Теория информации использует логарифмы для количественной оценки содержания информации, поскольку она напрямую связана с количеством различимых состояний.
• $f$: Это эффективность постобработки.
  • Математическое определение: Скалярный коэффициент, $f \ge 1$. В статье указано $f=1,2$ для реализаций как кубитов, так и кутритов.
  • Физическая/логическая роль: Он учитывает накладные расходы, возникающие в процессе коррекции ошибок. Если $f=1$, коррекция ошибок идеально эффективна. Если $f > 1$, это означает, что во время коррекции ошибок раскрывается больше битов, чем строго необходимо, что уменьшает длину конечного безопасного ключа.
• $H_d(e_Z)$: Это обобщенная функция бинарной энтропии для $d$-уровневых систем, вычисленная при скорости ошибки $e_Z$.
  • Математическое определение: Функция, определенная Уравнением (7) в статье: $H_d(x) = -x \log_2((x/d - 1)) - (1 - x) \log_2(1 - x)$. (Примечание: как написано, член $(x/d - 1)$ будет отрицательным для $x < d$, делая $\log_2$ неопределенным. Вероятно, это опечатка в статье, и обычно должно быть $x/(d-1)$ согласно цитируемой ссылке [46]).
  • Физическая/логическая роль: Она количественно определяет информацию, которая раскрывается в процессе коррекции ошибок, часть которой злоумышленник (Ева) потенциально может узнать, если знает скорость ошибки $e_Z$. Эта информация должна быть вычтена из общего объема.
  • Почему вычитание: Этот член представляет информацию, которая фактически "теряется" из безопасного ключа, потому что ее пришлось публично обсуждать или она иным образом скомпрометирована во время коррекции ошибок.
• $e_Z$: Это скорость ошибок квантовых битов (QBER) в базисе Z.
  • Математическое определение: Скалярное значение от 0 до 1. Оно определяется Уравнением (4) в статье: $QBER_M^{dD} = \frac{\sum_{a=0,b=0, a \neq b}^{d-1} C_{ab}^M}{\sum_{a=0,b=0}^{d-1} C_{ab}^M}$.
  • Физическая/логическая роль: Оно измеряет скорость ошибок, когда Алиса и Боб выбирают измерение своих фотонов в естественном (Z) базисе. Эта скорость ошибок используется для управления процессом коррекции ошибок.
• $H_d(e_X)$: Это обобщенная функция бинарной энтропии для $d$-уровневых систем, вычисленная при скорости ошибки $e_X$.
  • Математическое определение: Та же функция, что и $H_d(e_Z)$, но с $e_X$ в качестве входного параметра.
  • Физическая/логическая роль: Она количественно определяет максимальную информацию, которую злоумышленник (Ева) потенциально может получить, выполняя измерения в базисе суперпозиции (X). Эта информация должна быть "усилена" путем усиления конфиденциальности, чтобы гарантировать безопасность конечного ключа.
  • Почему вычитание: Этот член представляет информацию, которую необходимо "пожертвовать" из сырого ключа во время усиления конфиденциальности, чтобы гарантировать, что Ева не имеет никакой полезной информации о конечном безопасном ключе.
• $e_X$: Это скорость ошибок квантовых битов (QBER) в базисе X.
  • Математическое определение: Скалярное значение от 0 до 1. Определяется Уравнением (4).
  • Физическая/логическая роль: Оно измеряет скорость ошибок, когда Алиса и Боб выбирают измерение своих фотонов в базисе суперпозиции (X). Эта скорость ошибок критически важна для оценки потенциального выигрыша информации Евы и, следовательно, для определения количества необходимого усиления конфиденциальности.

Пошаговый поток

Представьте себе сложную сборочную линию для безопасного обмена информацией. Вот как абстрактная точка данных — запутанная пара фотонов — проходит через этот механизм КРК:

1. Генерация запутанной пары (Литейный цех): Процесс начинается в кремниевом микрорезонаторе, действующем как квантовая литейная. Непрерывный лазер накачки вводит энергию. Через процесс спонтанного четырехволнового смешивания (SFWM) эта энергия преобразуется в пару запутанных фотонов: "сигнальный" фотон и "фотон-идентификатор". Эта пара является абстрактной "точкой данных", представленной квантовым состоянием $|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^{N} e^{i\phi_n} |I_n\rangle |S_n\rangle$. Каждая пара представляет собой суперпозицию по $N$ частотным модам, что означает, что она одновременно находится во всех этих состояниях, как вращающаяся в воздухе квантовая монета. Член $e^{i\phi_n}$ учитывает любые тонкие фазовые вариации, присущие ее созданию.

2. Пространственное разделение и распределение (Конвейерная лента): Программируемый Фильтр (PF1) действует как разветвитель, направляя сигнальный фотон к Алисе, а фотон-идентификатор — к Бобу. Затем эти фотоны проходят по отдельным квантовым каналам, которыми являются оптические волокна. Во время этого путешествия они могут подвергаться затуханию (имитируемому $\alpha$) и внешнему шуму, подобно небольшим ударам по конвейерной ленте.

3. Случайный выбор базиса (Измерительные станции): На своих станциях Алиса и Боб, независимо и случайным образом, выбирают, как "посмотреть" на свой фотон. Они могут выбрать "естественный базис" (Z-базис), который непосредственно измеряет частотную моду фотона, или "базис суперпозиции" (X-базис). Для измерений в X-базисе используются электрооптические модуляторы (ЭОМ) и другие PF для смешивания частотных мод и выполнения проекций на определенные состояния суперпозиции, применяя точные фазы (например, $\phi$ для кубитов или определенные углы для кутритов).

4. Детектирование фотонов и запись совпадений (Контроль качества): Сверхпроводящие нанопроволочные однофотонные детекторы (SNSPD) являются "датчиками", которые обнаруживают прибытие фотонов. Временной теггер записывает точное время прибытия каждого фотона. Если Алиса и Боб обнаруживают свои соответствующие фотоны в пределах очень узкого "окна совпадений" ($\Delta t_{cc}$), регистрируется "совпадение" ($C_{ab}^M$). Эти подсчеты накапливаются в течение определенного времени интеграции ($\tau$).

5. Согласование базисов (Сортировочная линия): Затем Алиса и Боб публично сравнивают свои записи о том, какой базис они выбрали для каждой пары фотонов. Если они выбрали разные базисы, эта "точка данных" отбрасывается — это как продукт, который не соответствует заказу и отправляется в корзину для отклоненных. Этот процесс отбрасывания объясняет появление коэффициента отсева $\frac{1}{2}$ в уравнении $SKR_{dD}$. Только пары, для которых они выбрали один и тот же базис (Z-Z или X-X), продолжают дальнейшую обработку.

6. Расчет скорости ошибок (Детектор аномалий): Для оставшихся "точек данных" Алиса и Боб сравнивают небольшую, случайно выбранную подмножество результатов своих измерений. Если их результаты не совпадают (например, Алиса измерила '0', а Боб — '1'), это "ошибка". Скорость ошибок квантовых битов ($QBER_M^{dD}$) рассчитывается по Уравнению (4) как отношение этих "неправильных" детектирований (случайных совпадений) к общему числу детектирований в этом базисе. Высокий QBER указывает на потенциальное подслушивание или чрезмерный шум, подобно тому, как детектор аномалий сигнализирует о неисправном продукте.

7. Завершение формирования безопасного ключа (Безопасная упаковка): Наконец, вся эта информация подается в уравнение $SKR_{dD}$ (Уравнение (5)) для определения конечной скорости генерации безопасного ключа.

   • Средняя скорость сырых совпадений ($R_{raw}^{dD}$, из Уравнения (6)) обеспечивает общую пропускную способность "хороших" событий.
   • Теоретическая информационная емкость каждого кудита ($\log_2(d)$) устанавливает максимальный потенциал.
   • Затем делаются два важных вычета:
     • Во-первых, вычитается информация, раскрываемая во время коррекции ошибок ($fH_d(e_Z)$), основанная на QBER базиса Z ($e_Z$). Это учитывает биты, которые пришлось публично обсуждать для исправления ошибок.
     • Во-вторых, вычитается информация, которую Ева могла получить ($H_d(e_X)$), оцененная по QBER базиса X ($e_X$). Это гарантирует, что даже если Ева получила частичное знание, оно становится бесполезным благодаря усилению конфиденциальности.
   • Оставшееся значение — это $SKR_{dD}$, скорость, с которой истинно секретные биты упаковываются и доставляются, представляя безопасный выход всей сборочной линии.

Динамика оптимизации

Эта КРК-система не "обучается" в адаптивном, итеративном смысле алгоритма машинного обучения, использующего градиенты для навигации по ландшафту потерь. Вместо этого ее динамика включает комбинацию офлайн-оптимизации параметров для поиска оптимальных рабочих точек и механизмов онлайн-стабилизации для поддержания этих оптимальных условий.

1. Оптимизация параметров: Формирование ландшафта производительности
   Основное "обучение" здесь — это поиск оптимальных экспериментальных параметров, максимизирующих скорость генерации безопасного ключа (SKR). Это сродни инженеру, тщательно настраивающему сложную машину.
   • Ландшафт SKR: Авторы исследуют "ландшафт производительности", где "высота" — это SKR, а "рельеф" определяется такими параметрами, как мощность накачки на чипе ($P_c$) и окно совпадений ($\Delta t_{cc}$).

Рисунок 2 наглядно иллюстрирует этот ландшафт, показывая пики SKR при определенных комбинациях $P_c$ и $\Delta t_{cc}$ для различных размерностей кудитов ($d=2, 3$).
* Поиск оптимума: Процесс включает как симуляции, так и экспериментальные прогоны. Например, увеличение $P_c$ сначала увеличивает скорость сырых совпадений ($R_{raw}^{dD}$) за счет генерации большего количества пар фотонов. Однако после определенной точки более высокая $P_c$ приводит к увеличению многофотонных эмиссий и двухфотонного поглощения. Эти нежелательные события способствуют "случайным" совпадениям, которые, в свою очередь, увеличивают скорость ошибок квантовых битов (QBER). Более высокий QBER означает, что больше информации теряется во время коррекции ошибок и усиления конфиденциальности, что в конечном итоге снижает SKR. Аналогично, $\Delta t_{cc}$ должен быть достаточно широким, чтобы захватить истинные запутанные пары, но достаточно узким, чтобы отсеять некоррелированный фоновый шум.
* Нет градиентов, но поиск: Хотя формально "градиенты" не вычисляются и не следуются в смысле машинного обучения, процесс оптимизации концептуально включает движение к более высоким значениям SKR. Если изменение $P_c$ или $\Delta t_{cc}$ увеличивает SKR, это направление предпочтительно. Если оно уменьшается, исследуется противоположное направление. Это систематический поиск глобального максимума на ландшафте SKR.
* Стратегический выбор размерности: Сама размерность кудита $d$ является еще одним параметром, который оптимизируется, но не итеративно. Для более коротких квантовых каналов более высокое $d$ выгодно, поскольку оно увеличивает информационную емкость ($\log_2(d)$) на обнаруженный кудит, что приводит к более высокой SKR. Однако для более длинных, более шумных каналов более высокое $d$ может быть вредным. Это связано с тем, что более высокое $d$ означает больше возможных исходов, что может увеличить QBER из-за случайных подсчетов и снизить соотношение сигнал/шум (SNR). Следовательно, оптимальное $d$ зависит от затухания канала, представляя собой стратегический выбор, а не непрерывное обновление.

1. Стабилизация системы: Поддержание оптимального состояния
   После определения оптимальных рабочих параметров система использует петли активной обратной связи для поддержания этих условий против флуктуаций окружающей среды. Речь идет о стабильности, а не об изучении новых оптимальных параметров.
   • Стабилизация частоты: Частота накачивающего лазера имеет решающее значение для эффективной генерации пар фотонов. Система активно стабилизирует эту частоту на резонансе микрорезонатора.
     • Механизм: Измеритель мощности непрерывно контролирует накачиваемый свет, проходящий через резонатор. Цель системы — поддерживать частоту накачки точно на резонансе, что соответствует минимуму в проходящей мощности (Рис. 6b).
     • Петля обратной связи: Если измеренная мощность отклоняется от предопределенного порога, алгоритм управления применяет небольшую корректировку (шаг расстройки) к частоте накачки. Этот непрерывный мониторинг и корректировка противодействуют тепловым дрейфам или механическим вибрациям, которые иначе сместили бы резонансную частоту, обеспечивая работу системы на пиковой эффективности генерации фотонов. Это классическая система управления, а не обучающий алгоритм.
   • Выравнивание волокон: Хотя это и не непрерывный процесс "обучения" во время работы КРК, система также может автоматически выравнивать оптические волокна, вводящие и выводящие свет из резонатора. Это процедура калибровки, максимизирующая оптическую передачу, обеспечивая эффективное достижение Алисы и Боба сгенерированных фотонов.

По сути, "динамика оптимизации" данной КРК-системы характеризуется тщательным, часто ручным или симулированным, поиском оптимальных статических рабочих параметров, за которым следуют надежные системы управления с обратной связью в реальном времени, поддерживающие эти параметры против внешних воздействий, обеспечивая стабильные и высокие скорости генерации безопасного ключа в течение длительных периодов времени. Нет итеративного "обновления состояния" в смысле модели машинного обучения, корректирующей свои внутренние веса на основе функции потерь.

Figure 2. Simulated (Sim.) and experimental (Exp.) Secure Key Rate (SKR) as a function of coincidence window ∆tcc and power on chip Pc for d = 3 qudit in a) and for d = 2 qudits in b). The experimental SKR(∆tcc, Pc) represent the highlighted smaller area of the simulations. The optimal power on chip and coincidence window are P 3D op = 3.5 mW and ∆t3D op = 285 ps for d=3 qudits and P 2D op = 3.9 mW and ∆t2D op = 310 ps for d=2 qudits Figure 3. a) Experimental Secure Key Rate (SKR) of 21 QKD channels at 0 dB applied attenuation. We manually select the QKD channels and exclude the frequency modes with coincidence count rates below 1 kHz (cf. Fig. 1b). Each channel is 3 resonance-wide (63 GHz), and can be deployed with either d = 3 qudits or with d = 2 qudits. An example of a multi- dimensional quantum network architecture that operates quantum channels with qutrits and qubits in parallel is depicted in the inset. The associated QBERs for measurements in X (light colored) and Z (dark colored) basis are shown in b) for d = 3 and in c) for d = 2 qudit implementation. The horizontal dotted lines are the QBER thresholds for positive SKR, of 15.9% and 11% respectively [9]

Результаты, ограничения и заключение

Экспериментальный дизайн и базовые уровни

Авторы тщательно разработали свою экспериментальную установку, чтобы предоставить убедительные доказательства своих утверждений о многомерной частотно-канальной КРК на основе запутанности. В основе их дизайна лежал кремниевый микрорезонатор с низким свободным спектральным диапазоном (FSR), в частности, спиральный резонатор длиной 3,54 мм, изготовленный на кремниевом слое толщиной 300 нм поверх слоя окисла толщиной 3 мкм. Эта кремниевая платформа на изоляторе, выбранная за ее CMOS-совместимость и высокое качество ($4,75 \times 10^5$), служила источником запутанных пар фотонов посредством спонтанного четырехволнового смешивания (SFWM). Настраиваемый лазер непрерывно накачивал этот резонатор, причем мощность на чипе ($P_c$) точно контролировалась в диапазоне от 0 до 6 мВт с помощью усилителя на эрбий-легированном волокне (EDFA) и переменного оптического аттенюатора (VOA).

Для строгой проверки своих математических утверждений эксперимент был разработан для генерации и манипуляции частотно-канальными запутанными состояниями Белла размерности $d=2$ (кубиты) и $d=3$ (кутриты). Квантовое состояние пары фотонов, $|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=1}^N e^{i\phi_n} |I_n S_n\rangle$, характеризовалось его совместной спектральной интенсивностью (JSI) (Рис. 1b). Для протокола КРК BBM92 запутанные сигнальные фотоны и фотоны-идентификаторы пространственно разделялись Программируемым Фильтром (PF1) и распределялись двум сторонам, Алисе и Бобу. Каждая сторона затем измеряла свой фотон в одном из двух случайно выбранных взаимно-независимых базисов (MUB): естественном Z-базисе или базисе суперпозиции X. Электрооптические модуляторы (ЭОМ) и второй PF (PF2) использовались для манипуляции состояниями и проекции базиса, особенно для X-базиса, где ЭОМ смешивали частотные моды. Детектирование фотонов выполнялось с помощью сверхпроводящих нанопроволочных однофотонных детекторов (SNSPD), а события совпадений регистрировались в пределах заданного временного окна ($\Delta t_{cc}$) с помощью TimeTagger 20.

"Жертвами" или базовыми моделями в этом исследовании были в основном показатели производительности их собственной системы при настройке для различных размерностей кудитов ($d=2$ против $d=3$) и при различных экспериментальных условиях. Авторы систематически оптимизировали мощность накачки на чипе ($P_c$) и временное окно совпадений ($\Delta t_{cc}$) для максимизации скорости генерации безопасного ключа (SKR), моделируя производительность в широком диапазоне параметров, а затем экспериментально проверяя оптимальные области. Они также контекстуализировали свои результаты по сравнению с существующей литературой по другим реализациям КРК (поляризационное, временное, другие частотно-канальные подходы), чтобы подчеркнуть уникальные преимущества и конкурентоспособную производительность их многомерной частотно-канальной сети.

Что доказывают доказательства

Окончательным, неоспоримым доказательством того, что их основной механизм действительно работал на практике, являются ряд надежных экспериментальных проверок и показателей производительности.

Во-первых, авторам удалось сгенерировать и манипулировать многомерными частотно-канальными запутанными состояниями, достигнув скоростей генерации безопасного ключа как для $d=2$ (кубиты), так и для $d=3$ (кутриты). Они тщательно оптимизировали систему, найдя оптимальные параметры для кутритов ($P_c^{\text{op}} = 3,5$ мВт, $\Delta t_{cc}^{\text{op}} = 285$ пс), которые привели к скоростям ошибок квантовых битов (QBER) $e_X = 8,1\%$ и $e_Z = 7,7\%$. Для кубитов оптимальные настройки ($P_c^{\text{op}} = 3,9$ мВт, $\Delta t_{cc}^{\text{op}} = 310$ пс) дали QBER $e_X = 5,3\%$ и $e_Z = 4,4\%$. Критически важно, что все эти экспериментально измеренные QBER были значительно ниже теоретических порогов для положительной генерации безопасного ключа (15,9% для $d=3$ и 11% для $d=2$), что является четким доказательством безопасной связи.

Экспериментальные результаты продемонстрировали впечатляющую среднюю SKR 1024 бит/с для кутритов $d=3$ и 456 бит/с для кубитов $d=2$ по 21 параллельному КРК-каналу при затухании 0 дБ. Пиковая SKR достигла 1374 бит/с для кутритов (канал CH6) и 642 бит/с для кубитов (канал CH9). Это напрямую подтверждает повышенную информационную емкость и более высокие скорости передачи данных, предлагаемые использованием кудитов более высокой размерности.

Кроме того, измерения масштабирования по расстоянию, особенно на канале CH6, продемонстрировали максимальную дальность связи 295 км (соответствующую общему затуханию 59 дБ, предполагая потерю в волокне 0,2 дБ/км) при работе с кубитами. Доказательства также однозначно показали стратегическое преимущество: кудиты $d=3$ обеспечивали более высокую SKR на коротких расстояниях (до 275 км), в то время как кубиты $d=2$ поддерживали положительную SKR на более дальних расстояниях (до 295 км). Это подчеркивает практическую реконфигурируемость их сети для удовлетворения специфических потребностей пользователей, предлагая более высокие скорости передачи с высокоразмерными состояниями для коротких каналов и расширенные диапазоны связи с двумерными состояниями.

Значительным, и часто упускаемым из виду, доказательством была стабильность системы. Авторы продемонстрировали непрерывную и стабильную связь в течение более 21 часа (Рис. 4c). Хотя резонансная частота в конечном итоге дрейфовала примерно через 36 часов, требуя краткой повторной инициализации, эта долговременная стабильность является сильным показателем готовности системы к более практическому, автономному развертыванию. Они также частично исследовали протокол размерности 5 ($d=5$), достигнув SKR примерно 300 бит/с при затухании до 18 дБ, что еще раз подтверждает масштабируемость их подхода частотного кодирования, несмотря на текущие технологические ограничения. Основным источником QBER были идентифицированы некоррелированные события эмиссии нескольких пар, характеризуемые функцией автокорреляции второго порядка с оповещением $g^{(2)}(0)$, которая при оптимальных параметрах составляла 6,4% для $d=3$ и 7,7% для $d=2$. Этот внутренний шум был эффективно управляем для поддержания безопасных скоростей генерации ключа.

Ограничения и будущие направления

Хотя эта работа представляет собой значительный шаг вперед в многомерной частотно-канальной КРК, авторы откровенно обсуждают несколько ограничений и предлагают захватывающие направления для будущего развития.

Основным ограничением для масштабирования до еще более высоких размерностей (за пределами частично исследованной $d=5$) является пропускная способность коммерческих электрооптических модуляторов (ЭОМ), которая в настоящее время ограничена 40 ГГц. Это ограничение затрудняет эффективное смешивание частотных мод, находящихся далеко друг от друга, что необходимо для генерации боковых полос более высокого порядка, требуемых для больших размерностей кудитов. Например, для $d=4$ и $d=5$ уже требуется менее эффективная генерация боковой полосы второго порядка, а размерности выше $d=5$ становятся крайне непрактичными с текущей технологией ЭОМ.

Другим ограничением является текущая скорость генерации безопасного ключа (SKR), которая, хотя и конкурентоспособна для многомерного частотно-канального подхода, все еще скромна по сравнению с передовыми реализациями, использующими поляризационное или временное кодирование (которые могут достигать $10^5 - 10^7$ бит/с). Авторы объясняют это в первую очередь системными потерями, с общим бюджетом потерь 17,5 дБ на пользователя, включая соединение чип-волокно, фильтр-защелку, программируемые фильтры (PF) и ЭОМ. Измерения в базисе X влекут за собой дополнительные потери в 3 дБ.

На основе данной статьи возникает несколько тем для обсуждения относительно будущего развития и эволюции:

1. Прогресс в технологии ЭОМ: Наиболее прямой путь к раскрытию более высоких размерностей кудитов — это разработка ЭОМ со значительно более высокими индексами модуляции (например, $\mu=5$) и более широкой полосой пропускания (например, до 119 ГГц). Это могло бы обеспечить эффективную генерацию до $d=12$ кудитов, потенциально увеличив SKR на порядок. Будущие исследования могли бы изучить новые электрооптические материалы, методы резонансного усиления или интегрированные конструкции ЭОМ для продвижения этих границ производительности.

2. Полная интеграция на чипе и снижение потерь: Статья настоятельно предполагает, что полная интеграция компонентов на чипе, таких как PF и ЭОМ, могла бы значительно снизить вносимые потери, потенциально увеличив SKR "по крайней мере на 2 порядка величины". Это видение указывает на полностью интегрированные кремниевые фотонные КРК-системы. Критическим моментом для обсуждения являются инженерные проблемы и сложности производства, связанные с достижением такого уровня интеграции для всех компонентов — источника, фильтров, модуляторов и детекторов — при сохранении высокой производительности, низкого перекрестного влияния и экономической эффективности.

3. Надежная активная стабилизация фазы для полевого развертывания: Хотя система продемонстрировала впечатляющую стабильность в течение 21 часа, авторы признают, что "дополнительная фазовая стабильность на длинных оптоволоконных линиях" потребуется для полевого развертывания, особенно для измерений в базисе X. Это подчеркивает необходимость надежных, автономных и активных методов стабилизации фазы в реальном времени, аналогичных тем, что используются в зрелых КРК с поляризационным кодированием. Как их можно адаптировать и оптимизировать для частотного кодирования на городских оптоволоконных линиях, учитывая динамические флуктуации окружающей среды и температуры?

4. Динамическое переключение размерностей и оптимизация сети: Наблюдение, что более высокие размерности оптимальны для коротких каналов, а более низкие — для длинных, предполагает сложную, динамическую стратегию управления сетью. Как КРК-сеть может интеллектуально и автономно адаптировать размерность кудита для каждого канала в реальном времени на основе изменяющихся условий канала (например, затухания, уровней шума, спроса пользователей) для максимизации общей сетевой SKR и дальности? Это может включать продвинутые алгоритмы машинного обучения или адаптивные системы управления, которые учатся и реагируют на сетевую динамику.

5. Масштабирование до большего числа пользователей и каналов: Демонстрация 21 параллельного двухпользовательского канала является значительным шагом к многопользовательским квантовым сетям. Авторы предлагают увеличить до 38 каналов путем регулировки ширины канала. Дальнейшее обсуждение могло бы изучить предельные возможности частотного кодирования для количества параллельных каналов, учитывая спектральную загруженность, перекрестное влияние между каналами и сложность управления многочисленными независимыми КРК-каналами. Дальнейшие исследования по снижению FSR источника и разработке PF с более широкой полосой пропускания были бы здесь решающими.

6. Гибридные схемы кодирования и синергия между платформами: В статье кратко сравнивается частотное кодирование с OAM и временным кодированием, отмечаются их соответствующие сильные и слабые стороны. Более всестороннее и систематическое сравнение, возможно, исследующее гибридные схемы кодирования, могло бы выявить оптимальные стратегии для различных сетевых топологий и требований. Например, может ли комбинация частотного и временного кодирования обеспечить синергетическое преимущество в определенных сценариях, или частотное кодирование может быть объединено с другими степенями свободы для создания еще более богатых квантовых состояний?

Эти темы для обсуждения подчеркивают, что, хотя частотно-канальная КРК на основе запутанности, особенно с ее совместимостью с кремнием и возможностями мультиплексирования, является мощным и перспективным подходом, постоянные инновации в компонентных технологиях, системной интеграции и интеллектуальном управлении сетью будут иметь первостепенное значение для ее широкого внедрения и эволюции в будущую инфраструктуру квантового интернета.

Figure 1. a) Simplified experimental setup for the multi-dimensional frequency-bin encoded BBM92 protocol implementation. The pump and collection fibers can be automatically aligned. The pump wavelength is actively adjusted to the resonance at ωp = 1539.970 nm of the silicon resonator. Details are given in Methods section IV. The signal (blue) and idler (red) entangled photons of the frequency comb generated by Spontaneous Four Wave Mixing (SFWM) are distributed to Alice and Bob respectively using PF1. The attenuation α and the phase φ on each frequency mode are applied by PF1 as well. The attenuation α is applied symmetrically on the signal and idler channels to emulate optical fiber losses for distance scaling measurements in Fig. 4. ON/OFF indicates the status of the EOMs. PF2 isolates the frequency components on a frequency channel for both bases, which are then detected using Superconducting Nanowire Single Photon Detectors (SNSPDs). The coincidence window ∆tcc represents the temporal interval within which detection events count as coincidences. b) Joint Spectral Intensity (JSI) of the photon pair source, including coincidence count rates for signal and idler pair indexed by the spectral separation from ωp, in Free Spectral Range (FSR) units. The frequency channels for idler ICH and signal SCH photons and their wavelength demultiplexing method using PF1 is illustrated in the inset. All quantum channels have a fixed bandwidth of 3 resonances (63 GHz) for both qubits and qutrits. The alternating gray background display the QKD channels used in Fig. 3. The variations in coincidence counts between different frequency modes come from fabrication imperfections. The coincidence count rates below 1 kHz are attributed to mode hybridisation between the fundamental waveguide mode and higher order modes, which locally degrades the quality factor of the resonator, reducing the photon extraction efficiency from the corresponding cavity mode. The JSI measurement was performed at a power on chip Pc = 3.74 mW and ∆tcc = 305 ps. c) Example sketch of the frequency-bin encoded BBM92 protocol measurements in Z2D and X2D basis for qubits. In the X basis, PF1 controls the state projections via φ and the EOM mixes the two frequency modes on a common frequency channel singled-out by PF2. Details about the qutrit implementation are given in the main text Figure 4. Experimental (dots) for d = 2 and d = 3 and simulated (plain line) for d = 2 to d = 5 of a) the asymptotic Secure Key Rate (SKR) and b) Quantum Bit Error Rate (QBER) scaling with total attenuation α on channel CH6. The simulated Finite size Secure Key Rates (FSKRs) are indicated in dashed lines. The green background indicates the region where SKR3D > SKR2D up to 55 dB of attenuation (275 km), and the orange background indicates SKR2D > SKR3D from 55 to 59 dB attenuation (295 km). For example, the shorter quantum channel CH6 can deploy 3-dimensional states, while the longer quantum channel CH9 can operate with 2-dimensional states in parallel, using the same PF-EOM-PF configuration as in Fig. 1. The horizontal dotted lines of panel b correspond to the QBER threshold below which a positive secret key rate can be extracted. For the simulated implementations of d = 4 and d = 5 qudits, the same measurement efficiency as for d = 2 and 3 qudits was considered. The step size is 0.25 dB and only positive SKR points are displayed c) SKR and QBER every 500 s, over 21 hours, for d = 3 and d = 2 qudit dimension, using only the active frequency stabilization feedback loop