Fluxonium作为控制量子比特以实现玻色子量子信息

背景与学术渊源

起源与学术渊源

本文所解决的问题源于量子计算领域日益增长的对鲁棒量子纠错的关键需求，特别是利用超导谐振器中存储的玻色子码。尽管这些玻色子码因其固有的长存储时间和有偏的误差特性，为容错量子计算机提供了一条硬件高效的途径，但其实际实现面临着一个重大的痛点。

历史上，这些玻色子模式的控制和读出依赖于将其耦合到一个辅助控制量子比特。为此最常使用的辅助量子比特是transmon量子比特。然而，transmon量子比特尽管被广泛使用，却引入了若干有害效应，削弱了玻色子码的固有优势。这些限制包括：

1. 有限寿命：Transmon量子比特具有有限的相干时间，这直接限制了腔操作的时长和保真度。这种有限的寿命会引起耦合的玻色子谐振器的额外退相干。
2. 非期望的非线性：Transmon量子比特不可避免地会在腔中引入自Kerr非线性。这种非期望的自相互作用会导致光子数依赖的频率偏移，从而引起非期望的状态演化，并限制量子操作的保真度。
3. 新的误差通道：耦合本身可能引入新的误差通道，例如Purcell衰减或量子比特诱导的退相干，进一步降低电路性能。

先前尝试通过最小化或可调的量子比特-腔耦合或参数控制方案来缓解transmon的这些问题。然而，这些方法通常伴随着权衡，例如降低控制速度或增加电路设计和操作的复杂性。现有基于transmon的架构的这一根本性限制——它们倾向于“破坏”高质量的玻色子腔——迫使研究人员寻找能够提供快速、通用玻色子控制同时消除这些固有有害效应的替代辅助量子比特。本文研究了fluxonium量子比特作为一种有前途的替代方案，其动机在于其长寿命、通量可调性以及灵活的哈密顿量设计，这允许定制量子比特-腔相互作用以最小化或消除非期望的非线性。

直观的领域术语

• 玻色子码 (Bosonic codes)：想象一下信息存储不是像简单的开/关开关，而是像罐子里弹珠的确切数量，或者玻璃杯里水面的确切高度。每个弹珠或水位代表一个量子态，允许在单个“容器”中存储更复杂的信息。
• 超导谐振器 (Superconducting resonator)：将其视为一个完美光滑、超高效的回声室或一个非常高质量的钟。一旦将声音（或者在这种情况下，微波光子，它们就像微小的光粒子）放入其中，声音就会在其中回荡很长时间而不会损失能量，使其成为存储量子信息的理想场所。
• 辅助控制量子比特 (Ancillary control qubit)：这就像一个专门的遥控器或熟练的助手。它本身不存储主要信息，但用于精确地操纵、读取和制备主存储单元（谐振器）的状态，而无需直接接触它。
• Transmon量子比特 (Transmon qubit)：这是一种常用的“遥控器”（辅助量子比特），已被广泛使用。它通常是可靠的，但有几个缺点：它倾向于相对较快地“忘记”其状态（有限寿命），并且当它与存储单元相互作用时，它会意外地使存储单元以非期望的、非线性的方式运行，就像使回声室扭曲声音一样。
• 自Kerr非线性 (Self-Kerr nonlinearity)：这就像我们“回声室”（谐振器）中的一个缺陷，声音波开始以非期望的方式相互干扰，导致失真。每个声波不再独立运行，而是开始相互影响，使得精确控制整体声音变得更加困难。这是一种非期望的自相互作用，会破坏存储信息的纯度。

符号表

符号	描述

问题定义与约束

核心问题表述与困境

本文解决的核心问题是如何实现对超导谐振器中玻色子模式的鲁棒量子控制，而不损害其在量子纠错方面的固有优势。

输入/当前状态：
在超导谐振器中实现的玻色子码为量子纠错提供了一条硬件高效的途径。这些谐振器具有长的量子态存储时间和强烈偏向弛豫的误差特性，这简化了纠错要求。为了实现对这些玻色子模式的通用控制，一个辅助控制量子比特被耦合到谐振器。历史上，transmon量子比特一直是该角色的首选。

期望终点/目标状态：
最终目标是实现一个腔-量子比特耦合，该耦合能够为玻色子谐振器提供有效的读出和通用控制能力。至关重要的是，这种耦合不得引入“破坏”腔的有害效应，这意味着它应该保持腔的长相干时间和有利的误差偏倚。具体而言，期望的结果是一个系统，该系统允许大的色散位移（$\chi$）以实现快速控制，同时消除或显著抑制自Kerr非线性（$K$）并最小化额外的退相干。

缺失环节与数学鸿沟：
确切的缺失环节是一个控制量子比特架构，该架构能够提供强大的色散耦合（$\chi$）以实现快速、通用的玻色子控制，同时抑制或消除自Kerr非线性（$K$）并最小化退相干。Transmon量子比特虽然提供了控制，但固有地在$\chi$和$K$之间引入了受限的权衡，其中实现高$\chi$通常会导致显著的$K$，反之亦然，或者需要操作在损害腔相干性（强混合）的区域。数学鸿沟是找到一个系统哈密顿量（或系统内的一组可调参数），它允许独立或有利地调整$\chi$和$K$，特别是实现高$\chi/K$比，理想情况下$K \approx 0$。本文试图通过研究fluxonium量子比特来弥合这一鸿沟，其设计灵活性被假设允许定制其哈密顿量以实现此目的。

困境：
困扰先前研究人员的核心困境是在实现强大、快速的量子控制与保持玻色子腔的量子相干性和线性度之间的痛苦权衡。当一个辅助量子比特（如transmon）耦合到一个谐振器进行控制时，它通常会引入两个主要的有害效应：
1. 额外退相干：Transmon量子比特的有限寿命（通常比腔的寿命短）充当了新的误差通道，引起耦合腔的退相干，抵消了其长存储时间。
2. 非期望的非线性：Transmon量子比特的非谐性被腔继承，表现为自Kerr非线性（$K$）。这种非线性导致腔频率的光子数依赖性偏移，引起非期望的状态演化并限制操作保真度。

先前尝试通过使用最小化或可调的量子比特-腔耦合或参数控制方案来缓解这些问题，通常会导致控制速度降低或电路设计和操作的复杂性增加。Transmon系统面临一个基本限制，即$\chi$和$K$近似成正比，这使得在不进入强量子比特-腔混合区域的情况下实现高$\chi/K$比变得困难，而强混合区域本身对于保持腔相干性是不期望的。这意味着提高控制（更高的$\chi$）通常是以增加非线性（$K$）或降低相干性为代价的，从而造成持续且困难的权衡。

约束与失效模式

实现高保真度、低误差的玻色子量子控制的问题由于几个严酷的、现实的约束而变得异常困难：

• 物理约束：

  • 量子比特寿命和退相干：辅助量子比特的有限寿命是一个主要约束。Transmon量子比特的寿命相对较短，会引起耦合腔的额外退相干，破坏其长相干时间的优势。研究fluxonium正是因为它报告的毫秒级寿命[36-38]，这可以最小化量子比特诱导的腔退相干。
  • 腔寿命：即使有理想的量子比特，存储谐振器本身也具有有限的能量弛豫时间（$T_{1,s}$）。在使用的平面原型器件中，单光子寿命测量值为12 µs。这种相对较短的寿命显著影响了状态制备和断层扫描的保真度，因为完整的实验序列可以持续这段时间的一大部分。这是2D片上架构的一个实际限制，尽管3D实现提供了更高的品质因数。
  • 继承的非线性：辅助量子比特的非谐性固有地将自Kerr非线性（$K$）赋予腔。这是量子比特设计（例如，transmon）的一个基本物理特性，会导致光子数依赖的频率偏移和非期望的状态演化。目标是设计一个系统，其中这种继承的非线性被最小化或消除。
  • 量子比特-腔混合：虽然强耦合对于控制是期望的，但量子比特和腔状态之间的强混合（例如，当量子比特和腔频率过于接近时）通常是不期望的，因为它会损害腔的相干性和线性度。系统必须在低混合区域运行。
  • 通量可调性：通过外部磁通量原位调整系统参数的能力是一个关键的控制旋钮。Fluxonium的通量可调性是一个关键优势，允许动态重构系统属性，但它也引入了精确通量控制的需求。

• 计算约束：

  • 复杂哈密顿量建模：准确预测耦合量子比特-谐振器系统的行为需要对复杂的哈密顿量（例如，方程(1)）进行数值对角化，并使用主方程（方程(C5)）模拟系统动力学。这需要大量的计算资源和复杂的建模工具（如scQubits和QuTiP）。
  • 参数调整与优化：实现理论模型与实验数据之间的定量一致性，以及设计高保真度控制门（如SNAP门），需要精确调整多个电路参数和脉冲序列的数值优化。这在计算上可能很密集，并且对初始条件敏感。

• 数据驱动约束：

  • 测量选择性和相干性：在通量“甜点”之外，量子比特相干性的降低限制了进行光子数选择性测量的能力，使得位移校准和腔状态的表征更具挑战性。这会影响提取参数如$\chi$和$K$的准确性。
  • 来自双能级系统（TLSs）的时间波动：超导电路中TLSs的存在会导致系统参数（例如，量子比特色散位移$\chi$、量子比特$T_1$和$T_2$）随时间波动。这些在数天内观察到的波动会影响校准和测量的稳定性和可靠性，使得一致的高保真度操作成为挑战。
  • 量子比特初始化效率低下：辅助量子比特未能完美初始化到其基态（例如，热平衡时约66%的基态布居）会增加整体失真。这需要特定的冷却和后选程序，这会增加实验的复杂性和时间。
  • 读出背景和串扰：谐振器串扰和测量后冷却的量子比特衰减可能导致读出信号的背景倾斜，需要仔细的校正程序来隔离真实的量子比特信号。
  • 实验分辨率限制：分辨小的Kerr非线性（$K$）值受到实验噪声、量子比特相干性以及Ramsey条纹所需位移的限制。例如，本文估计最小可分辨的$K/2\pi \approx 300$ Hz，这意味着当前方法难以可靠地检测和表征更小的非线性。这限制了验证$K$抑制精度的能力。

FIG. 1. Fluxonium-resonator system. (a) Schematic compar- ison of an idealized cavity quantum electrodynamics system versus a circuit implementation. Our target is a dispersive shift χ as the only interaction (left). In practice, a resonator coupled to an artificial atom implemented by a superconducting circuit also inherits (at least) a self-Kerr nonlinearity K arising from the qubit’s anharmonicity (right). With sufficient control over cir- cuit parameters, K can be tuned and potentially suppressed. (b) False-colored optical images of the fabricated device. A fluxo- nium qubit is capacitively coupled to storage and readout modes, implemented as coplanar waveguide resonators

为什么选择这种方法

选择的必然性

作者决定探索fluxonium作为辅助量子比特，并非随意为之，而是直接源于在玻色子量子信息处理中广泛采用的transmon量子比特所固有的根本性限制。本文明确指出，“通常使用的transmon量子比特……由于其有限的寿命以及不可避免地诱导的自Kerr非线性而对腔操作施加了限制”（第1页，摘要）。这一认识强调，传统的“最先进”（SOTA）方法，主要是基于transmon的系统，是不足的，因为它们在玻色子腔中引入了“额外的退相干和非期望的非线性等极其有害的效应”（第1页，摘要）。具体而言，“使用transmon时，不可控的非线性是不可避免的”（第2页，引言），导致在尝试缓解这些问题时出现控制速度降低或电路复杂性增加等问题。核心问题是找到一种量子比特，它能够实现强大的色散耦合以实现快速、通用的玻色子控制，同时不具有这些固有的有害效应。Fluxonium以其独特的特性，成为克服这些关键缺点的唯一可行选择。

相对优势

Fluxonium量子比特提供了若干定性和结构上的优势，使其在这一应用中远优于transmon。首先，fluxonium已证明具有“毫秒级寿命[36-38]”，这对于最小化量子比特诱导的腔退相干至关重要，而这是transmon的一个重大问题（第2页）。这直接转化为对玻色子腔长存储时间的更好保持。其次，其“通量可调性允许对量子比特-腔耦合进行原位调整[39,40]”（第2页），提供了对系统属性的动态控制，其限制比transmon少。最重要的是，fluxonium的“丰富的能级结构”以及通过各种电路参数修改其哈密顿量的能力[41,42]允许“定制有效的量子比特-腔哈密顿量，从而最小化或消除非期望的非线性”（第2页）。这是一个深刻的结构优势。本文证明，fluxonium-腔系统可以实现“$\chi/K$比显著超过transmon-腔系统所能达到的”（第5页，结论）。高$\chi$（色散位移）对于快速操作是期望的，而低$K$（自Kerr非线性）对于防止光子数依赖的退相干至关重要，后者会降低控制保真度。实现“在半通量处保持大$\chi$的同时$K$趋于零”的能力是一个关键的区分点，它实现了transmon由于$\chi/K$关系固有的限制而无法实现的保真度控制（图5）。

与约束的契合

选择fluxonium方法完美契合了玻色子量子信息处理的严格约束。主要目标是在保持玻色子码固有优势（如长存储时间和有偏误差通道）的同时，实现振荡器的通用量子控制，并且至关重要的是，不引入辅助量子比特的有害效应。Fluxonium的独特属性与这些要求“完美契合”：

• 最小化退相干：通过fluxonium的“长寿命”（毫秒范围）来满足保持腔相干性的约束，这直接减少了量子比特诱导的腔退相干（第2页）。这比transmon的有限寿命限制有了巨大的改进。
• 控制非线性：一个主要的约束是抑制非期望的非线性，特别是自Kerr效应，它会导致光子数依赖的退相干。Fluxonium的“哈密顿量的设计灵活性”和“丰富的能级结构”允许“定制有效的量子比特-腔哈密顿量，从而最小化或消除非期望的非线性”（第2页）。这种能力，特别是实现趋于零的Kerr非线性同时保持大的色散位移的能力，直接解决了困扰transmon系统的不可控非线性问题。
• 快速通用控制：对“大色散耦合”（第2页）的fluxonium能力以及其优越的$\chi/K$比，支持了对玻色子模式进行快速通用控制的需求，这使得在最小退相干的情况下实现快速门操作成为可能。通量可调性通过允许原位调整耦合来进一步增强这一点，从而针对特定的控制协议进行优化。

排除其他方案

本文隐含地和明确地排除了transmon量子比特作为高性能玻色子控制的主要替代方案。尽管transmon已被广泛用于玻色子码功能[19-26]，但作者的核心动机源于其固有的局限性。本文指出，transmon“由于其有限的寿命以及不可避免地诱导的自Kerr非线性而对腔操作施加了限制”（第1页，摘要）。这些是fluxonium旨在克服的基本问题。

为transmon系统提到的其他方法，如“最小化或可调的量子比特-腔耦合[9,12,29,30]或参数控制方案[27,30–34]”，也被认为是不够的。本文指出，这些替代方案“可能导致控制速度降低，或增加电路设计或操作的复杂性”（第2页）。这表明，尽管它们可能为特定问题提供部分解决方案，但它们引入了新的权衡，损害了快速、高保真度和简单玻色子控制的整体目标。相比之下，fluxonium通过从根本上改变量子比特的属性来提供更优雅、更直接的解决方案，以实现卓越的性能，而无需这些额外的复杂性或速度降低。本文没有将GANs或其他量子比特类型（例如拓扑量子比特）等其他流行的量子计算架构作为此特定腔QED背景下辅助量子比特角色的直接替代方案，而是专注于超导电路内的直接比较。

FIG. 4. Bosonic control using the fluxonium. (a) Pulse sequence for the preparation and characterization of Fock states in the storage resonator. A selective number-dependent arbitrary phase gate is used to prepare specific Fock states, which are characterized using either qubit spectroscopy or Wigner tomography. (b) Fluxonium spectroscopy with the storage resonator prepared in |1⟩(top) and 1 √

数学与逻辑机制

主方程

控制系统动力学的绝对核心方程，包括相干演化和退相干，是Lindblad主方程。该方程对于模拟开放量子系统至关重要，而开放量子系统是理解本文中fluxonium-谐振器系统性能和限制的关键。具体而言，本文在附录C的方程(C5)中将其称为：

$$ \frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t} = -i[H_{\text{eff,rot}} + H_{\text{drive,rot}}, \hat{\rho}] + \sum_k [L_k \hat{\rho} L_k^\dagger - \frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k, \hat{\rho}\}] $$

逐项剖析

让我们剖析这个方程，解释每个部分的数学定义、物理/逻辑作用以及使用它的理由。

• $\frac{\partial \hat{\rho}}{\partial t}$

  1. 数学定义：这是密度算符$\hat{\rho}$的时间偏导数。
  2. 物理/逻辑作用：它代表系统量子态的瞬时变化率。本质上，它告诉我们系统的量子态是如何随时间演化的。
  3. 为何使用：这是描述量子系统时间演化的标准数学表达式，尤其是在考虑与环境相互作用的开放量子系统时。

• $\hat{\rho}$

  1. 数学定义：密度算符（或密度矩阵）。它是一个半正定、厄米算符，迹为1。
  2. 物理/逻辑作用：密度算符提供了对量子系统状态的完整统计描述。它可以表示纯量子态（系统处于确定的量子态）和混合态（系统处于量子态的经典概率混合），这对于模拟受退相干影响的实际系统至关重要。
  3. 为何使用：对于开放量子系统，由于与环境的相互作用，系统很少处于纯态。密度算符是描述这些混合态及其演化的合适工具。

• $-i[H_{\text{eff,rot}} + H_{\text{drive,rot}}, \hat{\rho}]$

  1. 数学定义：这是交换子项，其中$[A, B] = AB - BA$。这里，$H_{\text{total,rot}} = H_{\text{eff,rot}} + H_{\text{drive,rot}}$是旋转参考系下的总哈密顿量。因此，该项为$-i(H_{\text{total,rot}}\hat{\rho} - \hat{\rho} H_{\text{total,rot}})$。
  2. 物理/逻辑作用：方程的这一部分描述了量子态的相干、幺正和可逆演化。它决定了系统状态如何因其内部能量（哈密顿量）和施加的任何外部控制场而变化。这类似于纯态的薛定谔方程。
  3. 为何使用：交换子形式确保了演化是幺正的，在没有耗散的情况下保持密度矩阵的迹（总概率）和状态的纯度。虚数单位$i$对于量子力学描述时间演化是基础性的。

• $H_{\text{eff,rot}}$

  1. 数学定义：旋转参考系下的有效哈密顿量，由$H_{\text{eff,rot}}/\hbar = \chi \hat{a}^\dagger \hat{a} |e\rangle \langle e| + \frac{K}{2} \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}$给出。
  2. 物理/逻辑作用：该哈密顿量描述了在色散区域下，fluxonium量子比特（建模为双能级系统）与超导存储谐振器之间的内在、静态相互作用。它捕捉了色散耦合和自Kerr非线性这两个关键物理现象。
  3. 为何使用：在强色散耦合条件下，这种简化的形式是有效的，可以清晰直观地理解量子比特-谐振器相互作用。变换到旋转参考系消除了快速振荡项，简化了分析。

• $\chi \hat{a}^\dagger \hat{a} |e\rangle \langle e|$

  1. 数学定义：色散位移项。$\chi$是色散耦合强度，$\hat{a}^\dagger$和$\hat{a}$分别是谐振器的产生和湮灭算符，而$|e\rangle \langle e|$是量子比特激发态的投影算符。
  2. 物理/逻辑作用：当量子比特处于激发态$|e\rangle$时，该项导致存储谐振器的共振频率发生偏移。反之，量子比特的跃迁频率会根据腔中的光子数而移动。这种相互作用是量子比特读出和实现对玻色子谐振器的量子控制的基石。
  3. 为何使用：该项自然地源于量子比特与谐振器之间的强色散耦合。它是一个加性项，因为它代表了系统总能量的能量位移。

• $\frac{K}{2} \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}$

  1. 数学定义：自Kerr非线性项。$K$是Kerr系数，而$\hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}$是一个可以重写为$\hat{n}(\hat{n}-1)$的算符，其中$\hat{n} = \hat{a}^\dagger \hat{a}$是光子数算符。
  2. 物理/逻辑作用：该项引入了一个非线性，其中谐振器的频率取决于腔中已有的光子数。它导致不同的光子数态以不同的速率累积相位，从而引起非期望的状态演化（例如，相干态的压缩）并限制量子操作的保真度。$1/2$的因子是Kerr项的常规缩放。
  3. 为何使用：该项捕捉了谐振器从与非谐fluxonium量子比特的相互作用中继承的最低阶非线性。它是一个加性项，因为它代表了系统额外的能量贡献。

• $H_{\text{drive,rot}}$

  1. 数学定义：旋转参考系下的驱动哈密顿量，由$H_{\text{drive,rot}}/\hbar = \sum_n e_n(t)e^{-i\delta_n t} |e\rangle \langle g| + \text{h.c.}$给出。
  2. 物理/逻辑作用：该哈密顿量描述了施加到主动控制fluxonium量子比特的外部微波场。这些驱动被设计用来诱导量子比特的基态（$|g\rangle$）和激发态（$|e\rangle$）之间的跃迁，从而实现Rabi振荡和选择性相位门等操作。
  3. 为何使用：外部控制对于操纵量子态至关重要。该项允许对驱动量子比特的精确整形微波脉冲进行建模，进而控制色散耦合的谐振器。

• $\sum_n e_n(t)e^{-i\delta_n t} |e\rangle \langle g| + \text{h.c.}$

  1. 数学定义：这是对$n$个微波驱动的复幅度$e_n(t)$乘以旋转相位因子$e^{-i\delta_n t}$以及量子比特升算符$|e\rangle \langle g|$的求和。h.c.代表厄米共轭，包括降算符$|g\rangle \langle e|$。$\delta_n = \omega_n - \Omega$是第$n$个驱动频率$\omega_n$与量子比特跃迁频率$\Omega$的失谐。
  2. 物理/逻辑作用：求和中的每一项代表施加到量子比特的特定微波驱动。$e_n(t)$控制脉冲的强度和时间形状，$e^{-i\delta_n t}$解释了驱动相对于旋转参考系的相位演化，而$|e\rangle \langle g|$诱导了从基态到激发态的跃迁（及其共轭，从激发态到基态）。这使得能够精确操纵量子比特状态。
  3. 为何使用：求和允许应用多个、可能不同的驱动信号。指数相位因子是变换到旋转参考系的结果，如果共振（$\delta_n=0$），则使驱动有效变为时间无关。

• $\sum_k [L_k \hat{\rho} L_k^\dagger - \frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k, \hat{\rho}\}]$

  1. 数学定义：这是Lindblad超算符，代表量子系统的非相干、耗散演化。$\{A, B\} = AB + BA$是反对易子。
  2. 物理/逻辑作用：该项解释了由于系统与环境之间不可逆的相互作用而导致的退相干和能量弛豫。每个$L_k$都是一个对应于特定损耗机制（例如，光子损耗、量子比特弛豫、退相干）的衰减算符。它驱动系统趋向于混合态并降低量子相干性。
  3. 为何使用：Lindblad形式是描述开放量子系统的马尔可夫、保持迹、完全正演化的最通用方法。求和包含了所有相关的独立损耗通道，并且特定形式确保了密度矩阵保持物理有效性。

• $L_k$

  1. 数学定义：衰减算符。本文指定：
     • 存储模式能量衰减：$L_1 = \sqrt{\kappa} \hat{a}$
     • Fluxonium弛豫：$L_2 = \sqrt{\Gamma_1} |g\rangle \langle e|$
     • Fluxonium激发：$L_3 = \sqrt{\Gamma_1} |e\rangle \langle g|$
     • 纯退相干：$L_4 = \sqrt{\Gamma_\phi/2} (|e\rangle \langle e| - |g\rangle \langle g|)$
  2. 物理/逻辑作用：每个$L_k$描述了与环境的特定类型的不可逆相互作用。$\sqrt{\kappa} \hat{a}$模拟了谐振器的光子损耗。$\sqrt{\Gamma_1} |g\rangle \langle e|$代表量子比特从激发态弛豫到基态。$\sqrt{\Gamma_1} |e\rangle \langle g|$解释了量子比特的热激发。$\sqrt{\Gamma_\phi/2} (|e\rangle \langle e| - |g\rangle \langle g|)$模拟了纯退相干，即在没有能量交换的情况下丢失量子比特的相位信息。
  3. 为何使用：这些算符被选择用来准确地模拟超导量子电路中观察到的主要物理损耗机制。平方根因子确保了这些耗散过程的正确速率。

分步流程

让我们追踪一个抽象数据点（由密度矩阵$\hat{\rho}$表示）通过这个数学引擎的精确生命周期。

1. 初始状态注入：过程始于初始密度矩阵$\hat{\rho}(0)$，代表在时间$t=0$时fluxonium-谐振器系统的量子态。这可能是由于初始化不完美而产生的基态、相干态或混合态。
2. 相干演化装配线：
   • 随着时间的推移，主方程的相干部分$-i[H_{\text{eff,rot}} + H_{\text{drive,rot}}, \hat{\rho}]$作用于$\hat{\rho}$。
   • 内在相互作用：首先，静态有效哈密顿量$H_{\text{eff,rot}}$开始塑造$\hat{\rho}$。色散位移项$\chi \hat{a}^\dagger \hat{a} |e\rangle \langle e|$导致存储谐振器的频率根据fluxonium量子比特处于基态还是激发态而“旋转”得不同。这产生了状态依赖的频率偏移。
   • 非线性相位累积：同时，自Kerr非线性$\frac{K}{2} \hat{a}^\dagger \hat{a}^\dagger \hat{a} \hat{a}$在谐振器内部引起了光子数依赖的相位偏移。如果$\hat{\rho}$代表一个相干态，该项将导致它在相位空间中“剪切”或失真，因为不同的光子数分量以不同的速率演化。
   • 外部控制输入：然后，施加了由$H_{\text{drive,rot}}$描述的外部微波脉冲。这些脉冲经过精确计时和整形，以驱动fluxonium量子比特的跃迁（例如，$|g\rangle \leftrightarrow |e\rangle$）。通过操纵量子比特，可以间接控制色散耦合的谐振器的状态，例如，通过施加特定的相位偏移或执行状态转移。
   • 这些相干操作幺正地变换$\hat{\rho}$，在希尔伯特空间中以可预测的、可逆的方式旋转其分量。
3. 非相干衰减与退相干站：
   • 与相干演化同时，主方程的非相干部分$\sum_k [L_k \hat{\rho} L_k^\dagger - \frac{1}{2}\{L_k^\dagger L_k, \hat{\rho}\}]$持续处理$\hat{\rho}$。
   • 光子损耗：谐振器的衰减算符$\sqrt{\kappa} \hat{a}$模拟了光子从腔中逸出。这导致谐振器中总光子数减少，量子态能量不可逆地损失。
   • 量子比特弛豫/激发：量子比特的衰减算符$\sqrt{\Gamma_1} |g\rangle \langle e|$和$\sqrt{\Gamma_1} |e\rangle \langle g|$描述了量子比特向环境损失能量（弛豫）或获得能量（热激发）。这些过程导致量子比特状态衰减至热平衡。
   • 纯退相干：纯退相干算符$\sqrt{\Gamma_\phi/2} (|e\rangle \langle e| - |g\rangle \langle g|)$导致量子比特在没有能量交换的情况下丢失其量子相位信息。这破坏了叠加态并驱动量子比特趋向于混合态。
   • 这些非相干过程随着时间的推移使$\hat{\rho}$变得更加“混合”，降低了非对角线元素（相干性），并将系统驱动至经典概率混合。
4. 输出状态：经过一定演化时间$t$后，主方程产生最终密度矩阵$\hat{\rho}(t)$。该$\hat{\rho}(t)$代表了系统的量子态，它经历了预期的相干变换和不可避免的非相干退化。从这个最终密度矩阵可以计算出可观测的量，如量子比特布居概率、Wigner函数或保真度度量，以表征系统的性能。

优化动力学

主方程描述的机制不是典型的机器学习意义上的“学习”算法，而是表征、控制和优化量子系统性能的强大工具。“优化”在此指的是寻找最优的系统参数或控制脉冲序列以实现期望的量子态或最小化误差。

1. 参数提取与损失景观映射：

   • 该机制的主要用途是模拟系统动力学。通过将这些模拟与实验数据（例如，量子比特光谱、Ramsey干涉测量、Wigner断层扫描）进行比较，作者提取了关键的物理参数，如色散位移$\chi$、Kerr非线性$K$以及各种衰减率（$\kappa$、$ \Gamma_1$、$ \Gamma_\phi$）。
   • 这涉及到拟合过程：通过改变模型参数来调整模拟结果，直到它们最匹配测量数据。在此背景下，“损失景观”不是训练损失函数，而是模型预测与实验观测一致性的程度。目标是找到最小化差异的参数值，通常使用最小二乘法或其他拟合算法。
   • 本文明确提到使用主方程拟合Ramsey条纹以考虑系统损耗，并通过拟合理论模型从实验数据中提取$\chi$和$K$。
   • Fluxonium独特的通量可调性允许对$\chi$和$K$进行动态控制。通过将这些参数映射为外部通量的函数（图3），作者可以识别出“甜点”，例如，在这些点上Kerr非线性$K$被抑制，同时保持大的色散位移$\chi$。这是高保真度玻色子控制的一个关键优化目标。

2. 控制脉冲优化：

   • 对于特定的量子控制任务，例如使用选择性数依赖任意相位（SNAP）门来制备谐振器Fock态或叠加态，需要精确的控制脉冲序列。这些脉冲由驱动哈密顿量$H_{\text{drive,rot}}$中的时间相关幅度$e_n(t)$和失谐$\delta_n$定义。
   • 本文指出，“选择性$\pi$脉冲的幅度和相位经过数值优化以抑制相干误差。”这个优化过程涉及使用不同的脉冲参数迭代地向前运行主方程（C5）。对于每组参数，计算所得量子态的保真度（它与目标态的接近程度）。
   • 在这种情况下，“损失景观”是脉冲参数的函数的不保真度（1 - 保真度）。使用数值优化算法（例如，梯度下降、进化算法或最优控制方法）来导航此景观并找到最大化期望量子操作保真度的脉冲参数。
   • 非相干误差的模拟（图4(f)）也指导了这种优化，通过显示系统寿命（$T_{1,s}$、$T_{\phi,f}$）如何影响门保真度，为未来的器件设计和实验协议提供信息。

3. 迭代状态更新：

   • 其核心是，主方程本身描述了密度矩阵$\hat{\rho}$在无穷小时间步$dt$上的连续迭代更新。在数值模拟中，这通常使用时间步进方法（例如，Runge-Kutta）来求解。在每一步，通过应用组合的相干和非相干演化算符，从$\hat{\rho}(t)$计算出$\hat{\rho}(t+dt)$。这种迭代过程允许在各种实验条件和控制脉冲下追踪量子态的完整生命周期，为表征和优化奠定基础。

结果、局限性与结论

实验设计与基线

我们的实验装置经过精心设计，以验证fluxonium作为玻色子量子信息控制量子比特的能力。我们构建了一个包含超导存储谐振器和fluxonium量子比特的最小电路，并增加了一个额外的读出谐振器用于量子比特状态测量（详见附录A 3）。对于这项原理验证工作，我们选择了二维（2D）片上架构，它使我们能够精确控制fluxonium和谐振器电路参数，尽管与三维（3D）实现相比，谐振器品质因数有所折衷。

fluxonium最有利的运行点是在半通量处确定的，在该区域其寿命和相干性最大化。在该点，我们测量了器件A的弛豫时间（$T_1$）为123 µs，Hahn回波相干时间（$T_2$）为90 µs（表I）。量子比特初始化通过基于测量的冷却和后选程序实现，始终产生超过90%的基态布居（附录B 1）。

为了表征量子比特-谐振器相互作用，我们通过位移脉冲制备了幅度为$\alpha$的相干态，然后测量了fluxonium的光谱（图2(a)）。清晰观察到的数分裂的量子比特共振，峰值间隔为$\chi/2\pi = 1.0$ MHz，是强色散耦合的明确证据。这种强耦合是我们玻色子控制机制的基础，它实现了Fock态选择性量子比特旋转，这是玻色子状态控制和读出的基础。我们通过监测谐振器返回真空态的概率，进一步测量了谐振器的弛豫率，提取了12 µs的单光子寿命（图2(b)），该值主要受我们制造的2D器件的内部品质因数限制。

一个核心目标是提取存储模式的继承自Kerr非线性（$K$）。我们使用“腔Ramsey”干涉实验来实现这一点，该实验涉及一系列谐振器位移和数选择性测量（图2(c)）。在较大的位移幅度下观察到的Ramsey条纹的偏移直接表明了光子数依赖的失谐，从中我们提取了$K/2\pi = 3.6$ kHz的自Kerr系数。

至关重要的是，我们研究了$\chi$和$K$的通量依赖性。我们测量了在不同外部通量值下的fluxonium光谱，并使用提取的电路参数数值计算了$\chi$和$K$的预期通量依赖性。这项表征是在两个不同的器件（A和B）上进行的，每个器件具有不同的存储谐振器频率（图3）。

最后，我们通过制备和表征谐振器Fock态及其叠加态来演示了玻色子控制。这是通过使用谐振器位移操作和选择性数依赖任意相位（SNAP）门实现的（图4(a)）。然后使用量子比特光谱和Wigner断层扫描（图4(b)，4(c)）对制备的状态进行表征。我们在这项工作中主要的比较基线是transmon量子比特，它是一种在超导电路中广泛使用的辅助量子比特。我们的目标是严格证明fluxonium-腔系统可以实现比基于transmon的架构更优越的$\chi/K$比，对于后者，理论上$\chi^2/|K|$的上限被确定为$|K|/2\pi \ge (\chi/2\pi)^2 / (2.12 \text{ GHz})$（附录C3）。我们还参考了大量文献中transmon的$\chi$和$K$值（表II）来为我们的发现提供背景。

证据证明的内容

我们收集的实验证据为fluxonium作为高性能玻色子控制量子比特的潜力提供了令人信服的证明，特别是其克服transmon基系统固有局限性的能力。

首先，观察到清晰的数分裂量子比特共振，色散位移为$\chi/2\pi = 1.0$ MHz（图2(a)），明确证明了强色散耦合。这是我们玻色子控制机制的基础，它实现了操纵谐振器中量子态所需的精确、Fock态选择性量子比特旋转。测量的存储谐振器的单光子寿命为12 µs（图2(b)），尽管受限于我们的2D原型，但证实了其在有意义的时间内存储量子信息的能力。

其次，我们的“腔Ramsey”干涉实验提供了明确的、不容置疑的证据，证明了谐振器的自Kerr非线性。在较大位移幅度下观察到的Ramsey条纹的幅度依赖性偏移（图2(d)）直接揭示了Kerr效应，使我们能够提取$K/2\pi = 3.6$ kHz。我们的实验数据与Lindblad主方程模拟（图2(e)）之间的定量一致性是关键证据。它证明我们对系统中非线性和损耗之间的相互作用拥有稳健的数学理解，使我们能够可信地预测低误差玻色子控制的器件参数。

第三，fluxonium独特的调谐性得到了无情的证明。我们测量的$\chi$和$K$随外部通量的函数关系（器件A的图3(c)，3(e)；器件B的图3(d)，3(f)）显示出显著的宽范围变化，与数值预测非常吻合。最重要的是，数据显示$K$可以在特定通量偏置点改变符号并穿越零（图3(e)）。这种调谐性是游戏规则的改变者，证明了动态抑制Kerr诱导的状态演化的能力，这是标准transmon量子比特在很大程度上无法实现的。

第四，我们成功演示了谐振器状态的量子控制。通过使用谐振器位移和SNAP门，我们制备并表征了单光子Fock态$|1\rangle$和叠加态$(|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt{2}$。实验测量的Wigner函数（图4(c)）清晰地显示了这些状态的成功制备。这些测量到的Wigner函数与我们的主方程模拟（图4(d)，4(e)）之间的强定量一致性进一步验证了我们对系统动力学和误差模型的理解，包括非相干误差的影响。

最后，也许最重要的是，证据证明fluxonium-腔系统在关键指标上可以实现比transmon更优越的性能。我们的分析，特别是$\chi^2/|K|$与通量的关系图（图5(d))，显示fluxonium在多个通量区域都超过了模拟的transmon上限。对于器件B，两个测量点（在$\Phi_{\text{ext}} \approx 0.1919\Phi_0$和$\Phi_{\text{ext}} \approx 0.3358\Phi_0$）明显高于transmon上限，其$\chi/2\pi = \{-1.83, -3.31\}$ MHz和$K/2\pi = \{0.31, 1.04\}$ kHz。这是决定性的、不容置疑的证据，表明fluxonium的核心机制允许在色散耦合和Kerr非线性之间取得更有利的平衡，这是高保真度玻色子量子信息处理的关键优势。模拟的fluxonium电路在半通量处实现趋于零的$K$同时保持大的$\chi$的例子（图5(b)）进一步加强了这种潜力。

局限性与未来方向

尽管我们的工作将fluxonium确立为玻色子量子信息处理的有前途的候选者，但我们当前原型器件中的一些局限性限制了可实现的保真度，并指明了未来发展的激动人心的方向。

一个主要限制是我们2D谐振器相对较低的腔寿命，测量值为12 µs。Wigner断层扫描的完整实验序列持续约3.5 µs，占该弛豫时间的重要部分（>25%）。因此，Fock态$|1\rangle$（79%）和叠加态$(|0\rangle - |1\rangle)/\sqrt{2}$（91%）的制备保真度目前受到该短腔寿命和量子比特初始化效率低下（表III）的限制。为了实现容错量子计算所需的高保真度，提高系统相干时间至关重要。

从工程角度来看，将fluxonium量子比特与高Q腔（如3D架构中使用的）集成仍然是一个重大挑战。尽管我们的2D平台在概念验证方面表现出色，但扩展到更高Q值的系统将需要进一步改进制造工艺，以可靠地瞄准电路参数并生产高相干性的fluxonium量子比特。

另一个未来探索的领域涉及更高阶的非线性。我们当前的玻色子控制实验主要在少数几个腔光子下运行，其中最高阶的Kerr非线性（$K_2$）占主导地位。然而，随着玻色子码发展到利用更大的光子数，更高阶的Kerr系数（$p > 2$的$K_p$）将变得越来越重要。我们的模拟表明，对于器件A和B，这些更高阶的修正在大约10个光子后变得显著（图14(c)）。未来的工作需要解决如何缓解或利用这些更高阶项以实现鲁棒控制。

展望未来，fluxonium固有的$\chi$和$K$的通量可调性提供了一个强大的旋钮，用于动态重构系统属性。这可以被利用来在空闲期间抑制Kerr诱导的状态演化，或为特定的量子协议动态优化参数。工程化不同的$K/\chi$比率的能力，如所演示的，为设计能够平衡快速操作与最小非线性的新颖控制方案开辟了可能性。

最终目标是实现“无Kerr玻色子控制”，即fluxonium可以在强色散区域耦合到腔，同时实际消除自Kerr非线性，尤其是在半通量处。我们的模拟预测这是可行的，其实验实现是关键的下一步。这将需要高Q腔集成方面的进一步进步以及精炼的制造工艺来实现预测的哈密顿量参数。

除了直接改进之外，已建立的控制技术可以直接转移到包含高Q腔的更先进架构中，为实现无Kerr玻色子控制铺平道路。此外，解决当前的误差源，例如改进量子比特初始化的主动复位方法以及开发更好的相干量子比特和谐振器系统，对于缓解非相干损耗至关重要。

Fluxonium固有的设计自由度，源于其丰富的能级结构和通量可调性，为定制量子比特-光子相互作用提供了无与伦比的机会，这是传统腔QED系统无法实现的。这表明未来的研究可以探索超越SNAP协议的新型玻色子控制方案，可能导致新的门设计、纠错策略，甚至完全新的量子信息处理范式，这些范式将充分利用fluxonium的多功能性。这种广泛的视角，摆脱了现有量子比特技术的偏见，将激发批判性思维并推动玻色子量子计算的发展。

FIG. 3. Hamiltonian parameters as function of external flux. (a) and (b) Fluxonium spectra of device A (left; solid circles) and device B (right; open circles), fit to the |g⟩→|e⟩transition. The higher transitions |g⟩→|f ⟩and |g⟩→|h⟩are shown in gray. The storage resonator level (orange) crosses different higher fluxonium levels in each device. This results in distinct flux dependence of the dispersive shift χ shown in (c) and (d), and the self-Kerr nonlinearity K shown in (e) and (f). K can change sign and cross zero at specific flux bias points (star; see Appendix D 1 for raw data). Solid lines are expected parameters based on the fit to the fluxonium spectrum. All simulations are performed numer- ically and show good agreement with the measurements. Error bars are smaller than the marker size (Appendix A 5) FIG. 5. Relation of χ and K for the fluxonium and trans- mon. (a) K (purple line) and overlap between bare and dressed states (green line) as a function of for a (hypothetical) transmon-resonator system with parameters EC/2π = 530 MHz and EJ/2π = 26.5 GHz for fixed |χ|/2π = 1 MHz. Although K reaches zero near EC ≈ , the qubit and resonator states become strongly hybridized at this point. The black star shows example transmon parameters for the bound (black dashed line) on χ/K discussed in the main text. (b) The same quanti- ties as in (a), shown for a fluxonium-resonator system at half flux with EC/2π = 1.19 GHz, EL/2π = 556 MHz, EJ/2π = 3.04 GHz. Blue star indicates a set of fluxonium parameters that beat the transmon bound, chosen with a detuning of 100 MHz from the K = 0 case, to illustrate that no unrealistic fine-tuning is required for small Kerr nonlinearity. (c) Our derived χ/K bound (dashed black line) plotted with values from the literature [9,23–25,44,45,48–53] for transmons (black circles are measured data; black diamonds have measured χ and simulated K), and devices A (blue circle) and B (open blue circle) of this work (at half-flux). (d) The figure of merit χ2/K vs flux. The ratio is plotted for measured data (blue circles) and fit to simula- tion (blue line) for device A (device B) in the top (bottom) panel. The black dashed lines are the transmon bound. For device B, two measured points fall above the transmon bound, with χ/2π = {−1.83, −3.31} MHz and K/2π = {0.31, 1.04} kHz at ?ext ≈{0.1919, 0.3358}?0 (see Appendix D 3 for details) FIG. 14. Higher-order Kerr in the fluxonium devices. (a) Sim- ulated pth order shift Kp as a function of detuning for the same fluxonium as presented in Fig. 5 for p = 2 (purple), 3 (blue), 4 (orange), and 5 (green). At each , g is tuned such that |χ| = 1 MHz. The blue star at /2π = −2.25 MHz is the same example point as in Fig. 5. (b) At the blue star point of sub-figure a, the simulated deviation ω (orange stars) of the cavity fre- quency is plotted for different photon numbers. The deviation only due to K2/2π = 1.76 Hz is plotted for comparison (dashed purple line). (c) The simulated deviation ω for devices A and B (closed and open circles, respectively). The deviations only due to K2 are plotted as dash-dotted and dotted lines, respectively

与其他领域的同构性

结构骨架

这项工作的纯粹数学核心是一种机制，用于精确调整谐波振荡器与辅助量子系统之间的相互作用，以实现高保真度控制并抑制有害的非线性。