← Back
Advances in Continuous and Discrete Models

Дифференцированная оптимальная стратегия управления бруцеллёзом в Нинся, Китай: выводы из двухзональной динамической модели

Проблема, рассматриваемая в данной статье, проистекает из устойчивого и пространственно неоднородного характера бруцеллёза — зоонозной инфекционной болезни, особенно в регионах с высокой заболеваемостью, таких как...

Область исследования Control Theory
Article Type Research analysis
Authors Zhai et al.
Original Paper Published 2025-12-15
ISOM Posted 2026-04-30 12:18 UTC
Read Time 2M
Open PDF Open DOI Open Source Page

Editorial Disclosure

ISOM follows an editorial workflow that structures the source paper into a readable analysis, then publishes the summary, source links, and metadata shown on this page so readers can verify the original work.

The goal of this page is to help readers understand the paper's core question, method, evidence, and implications before opening the original publication.

Предыстория и академическая родословная

Истоки и академическая родословная

Проблема, рассматриваемая в данной статье, проистекает из устойчивого и пространственно неоднородного характера бруцеллёза — зоонозной инфекционной болезни, особенно в регионах с высокой заболеваемостью, таких как Нинся, Китай. Исторически бруцеллёз представлял собой глобальную проблему со значительной распространённостью в таких регионах, как Средиземноморье, Ближний Восток и части Азии, как отмечалось в ранней литературе [1]. В Китае заболеваемость заметно возросла с середины 1990-х годов, достигнув пика в 2014 году, а её географическое распространение расширилось от традиционных пастбищных районов до сельскохозяйственных и даже южных прибрежных регионов [3]. Это расширение подчеркнуло двойную угрозу заболевания: оно наносит существенный экономический ущерб животноводству из-за бесплодия животных и снижения продуктивности [4, 5], а также представляет серьёзный риск для общественного здравоохранения, с сотнями тысяч случаев заболевания человека ежегодно во всём мире [2].

Возникновение данной конкретной проблемы обусловлено наблюдением, что передача бруцеллёза демонстрирует значительную пространственно-временную неоднородность и кластеризацию [6, 7]. Такие факторы, как межрегиональное перемещение скота, особенно из зон высокого риска в зоны низкого риска [8], и условия окружающей среды, такие как атмосферное давление и температура [9], оказывают глубокое влияние на его распространение. Предыдущие эпидемиологические исследования в основном опирались на статистические модели для прогнозирования. Однако эти модели оказались ограниченными в улавливании сложных динамических взаимодействий эпидемии с деятельностью человека и природной средой в различных местах и с течением времени. Это фундаментальное ограничение создало насущную потребность в более совершенном подходе, который мог бы точно определять зоны высокого риска и способствовать распределению дифференцированных ресурсов для профилактики и контроля. Динамическое моделирование, таким образом, стало важным инструментом для количественной оценки влияния этой пространственной неоднородности и разработки оптимальных, индивидуальных стратегий профилактики [10-12]. Статья конкретно фокусируется на Нинся, регионе с тяжёлой эпидемией бруцеллёза, вызванной B. melitensis у овец [26], с целью предоставления количественной основы для точных, дифференцированных стратегий контроля при ограниченных ресурсах здравоохранения.

Интуитивные термины предметной области

  • Бруцеллёз: Представьте себе очень стойкий «животный грипп», который легко передаётся от заражённых животных (например, овец) к человеку, вызывая длительное заболевание у обоих. Для фермеров это двойной удар: их животные болеют, что приводит к выкидышам и снижению надоев/мяса, и сами люди могут заразиться.
  • Пространственно-временная неоднородность: Думайте о распространении болезни не как о равномерном тумане, а скорее как о пятнистой, меняющейся буре. В одних городах она гораздо сильнее, чем в других, и её интенсивность меняется в зависимости от сезона или в течение нескольких лет. Это означает, что болезнь не везде имеет одинаковую силу всё время.
  • Зональная модель (Patch model): Представьте карту региона, разделённую на несколько отдельных зон или «районов». Зональная модель подобна отслеживанию распространения болезни внутри каждой зоны и её перемещения между ними, признавая, что каждая зона может иметь разные условия или уровни риска.
  • Базовое репродуктивное число ($R_0$): Это своего рода «показатель заразности» болезни. Если одно больное животное в среднем заражает более одного другого животного, показатель выше 1, и болезнь, вероятно, будет распространяться. Если оно заражает менее одного, показатель ниже 1, и болезнь в конечном итоге угаснет.
  • Оптимальная стратегия управления: Рассмотрите генерала, пытающегося выиграть войну с ограниченным количеством солдат и припасов. Оптимальная стратегия управления — это наилучший возможный план битвы, который точно указывает генералу, когда, где и в каком объёме развернуть свои ресурсы (например, вакцины, ограничения на передвижение), чтобы наиболее эффективно достичь победы (минимизировать заболеваемость).

Таблица обозначений

Обозначение Описание

Определение проблемы и ограничения

Основная постановка задачи и дилемма

Основная проблема, рассматриваемая в данной статье, заключается в разработке эффективных и дифференцированных оптимальных стратегий управления бруцеллёзом в Нинся, Китай, — регионе, характеризующемся высокой заболеваемостью и значительной пространственно-временной неоднородностью заболевания.

Входные данные или текущее состояние — это сложная эпидемиологическая ситуация, при которой передача бруцеллёза демонстрирует выраженные пространственно-временные закономерности, приводящие к зонам высокого и низкого риска (как показано на Рисунке 1). Ресурсы здравоохранения для профилактики и контроля ограничены, что делает унифицированные стратегии вмешательства неэффективными и часто невыполнимыми. Кроме того, перемещение скота между регионами является известным фактором распространения заболевания, что осложняет усилия по контролю. Предыдущие исследования, в основном опирающиеся на статистические модели, испытывали трудности с улавливанием сложной пространственно-временной динамики и взаимодействий с деятельностью человека и природной средой. Хотя вакцинация доступна и в некоторой степени эффективна (например, вакцина M5 с эффективностью ~65%), достижение равномерного охвата во всех регионах затруднено из-за нехватки ресурсов.

Желаемый конечный результат или целевое состояние — снижение кумулятивной популяции заражённых овец как в зонах высокого, так и низкого риска путём рационального распределения ресурсов вакцинации и внедрения эффективного надзора за транспортировкой. Это требует количественной основы для информирования точных стратегий контроля, адаптированных к конкретным уровням риска различных областей.

Точное недостающее звено или математический пробел, который данная статья пытается преодолеть, — это отсутствие надёжной, пространственно явной динамической модели, интегрирующей как пространственную неоднородность (двухзональная система), так и эффекты вакцинации, в сочетании с фреймворком оптимального управления. В частности, статья направлена на математическое выведение и оценку оптимальных решений управления, учитывающих дифференцированные вмешательства, выходя за рамки общих стратегий к ресурсоэффективным, целенаправленным подходам.

Болезненный компромисс или дилемма, которая поставила в тупик предыдущих исследователей и которую данная статья стремится разрешить, — это проблема достижения всестороннего контроля над заболеванием при строгих ресурсных ограничениях, одновременно решая проблему врождённой пространственно-временной неоднородности передачи бруцеллёза. Часто улучшение контроля в одной области или с помощью одного метода (например, широкомасштабной вакцинации) требовало бы экспоненциально больше ресурсов, которых просто нет. Дилемма усугубляется моделями миграции: хотя миграция может увеличить риск бруцеллёза в зонах низкого риска, она также может иметь «эффект разбавления» в зонах высокого риска (Замечание 2, стр. 11), что означает, что упрощённые, недифференцированные меры контроля могут непреднамеренно ухудшить ситуацию в определённых зонах или привести к неправильному распределению драгоценных ресурсов. Авторы стремятся найти баланс, обеспечивая, чтобы вмешательства были как эффективными, так и экономными.

Ограничения и режимы отказа

Проблема контроля бруцеллёза в Нинся становится невероятно сложной из-за нескольких суровых, реалистичных ограничений:

  • Физические/биологические ограничения:

    • Зоонозный характер и динамика передачи: Бруцеллёз — зоонозное заболевание, передаваемое в основном от заражённых животных (овец) к человеку, что усложняет усилия по контролю, поскольку они затрагивают как здоровье животных, так и общественное здравоохранение. Наиболее патогенный вид у мелких жвачных, B. melitensis, распространён в Нинся (стр. 3).
    • Пространственно-временная неоднородность: Заболеваемость бруцеллёзом демонстрирует значительные различия в пространстве и времени, что требует дифференцированного подхода, а не унифицированного (стр. 1, аннотация).
    • Перемещение скота: Межрегиональное перемещение скота является основным фактором распространения заболевания (стр. 2), что делает пограничный контроль и надзор за транспортировкой критически важными, но трудными для идеального соблюдения.
    • Эффективность вакцинации: Хотя вакцины существуют, их эффективность не составляет 100% (около 65% для вакцины M5, стр. 3), что означает, что вакцинация сама по себе не может полностью искоренить заболевание.

  • Вычислительные/математические ограничения:

    • Сложная динамика эпидемии: Динамика передачи бруцеллёза включает сложные взаимодействия между восприимчивыми, инфицированными и вакцинированными популяциями в различных зонах, которые трудно эффективно уловить более простыми статистическими моделями (стр. 2).
    • Сложность задачи оптимального управления: Выведение оптимальных решений управления требует решения системы дифференциальных уравнений для переменных состояния и связанных с ними косостояний, часто включающих нелинейные функции и применение Принципа максимума Понтрягина (Раздел 4, стр. 11). Переменные управления $u_i(t)$ ограничены в пределах $[0, 1]$, представляя собой допустимый диапазон усилий по вмешательству.

  • Ограничения, основанные на данных:

    • Недостаток данных по заражению овец: Существенным ограничением является «отсутствие прямых данных о заражении бруцеллёзом в стадах овец» (стр. 16). Это вынуждает авторов косвенно оценивать показатели заражения овец по уровню позитивности на бруцеллёз у людей с использованием модели линейной регрессии (Уравнение 5.1). Эта косвенная оценка, несмотря на высокое значение $R^2$, вносит потенциальную «смещение данных» (стр. 21).
    • Упрощения модели: Текущая модель предполагает равномерное смешивание овец в каждой зоне и игнорирует влияние структуры популяции (например, возраста, типов разведения) на распространение заболевания (стр. 21).
    • Ограничения детерминированной модели: Детерминированный характер модели не может полностью уловить случайные события, такие как стохастическое перемещение заражённых овец, которое может повлиять на передачу (стр. 21).

  • Ресурсные ограничения:

    • Ограниченные ресурсы здравоохранения: Главным ограничением являются «ограниченные ресурсы здравоохранения», доступные для профилактики и контроля бруцеллёза (стр. 1, аннотация; стр. 3). Это напрямую влияет на способность проводить широкомасштабные, унифицированные вмешательства.
    • Ограниченные ресурсы для иммунизации: В частности, ограниченные ресурсы для иммунизации затрудняют достижение равномерного охвата вакцинацией во всех регионах (стр. 3).
    • Неравномерное распределение ресурсов: Ресурсы здравоохранения «относительно неравномерно распределены» (стр. 20), что ещё больше осложняет справедливые и эффективные усилия по контролю.

Почему такой подход

Неизбежность выбора

Принятие двухзональной динамической модели SIV (Susceptible-Infected-Vaccinated — Восприимчивый-Инфицированный-Вакцинированный) для овец в сочетании с теорией оптимального управления было не просто выбором, а неизбежной необходимостью, учитывая присущие сложности передачи бруцеллёза в Нинся. Авторы явно признали ограничения традиционных методов SOTA (State-of-the-Art — передовые), особенно статистических моделей, которые составляют предыдущий золотой стандарт во многих эпидемиологических исследованиях. Как указано во введении: «Существующие исследования в основном сосредоточены на использовании статистических моделей для прогнозирования эпидемий, но эти модели имеют ограничения в обработке сложной динамики передачи эпидемий и трудно эффективно улавливают пространственно-временные взаимодействия с деятельностью человека и природной средой». Это осознание ознаменовало точный момент, когда отход от чисто статистических подходов стал обязательным.

Статистические модели, хотя и полезны для прогнозирования, часто испытывают трудности с механистическим представлением динамического взаимодействия распространения заболевания, перемещения населения и эффектов вмешательства во времени и пространстве. Бруцеллёз в Нинся демонстрирует значительную пространственно-временную неоднородность, что означает, что его распространённость значительно варьируется в различных географических областях и меняется со временем. Для характеристики этой сложной динамики и, что крайне важно, для разработки оптимальных и дифференцированных стратегий контроля динамическая модель была единственным жизнеспособным путём. Компонентная модель, такая как SIV, позволяет явно представлять состояния популяции (восприимчивые, инфицированные, вакцинированные) и переходы между ними, обеспечивая механистическое понимание, которое одни лишь статистические корреляции не могут дать.

Сравнительное превосходство

Эта двухзональная динамическая модель SIV предлагает качественное превосходство над предыдущими подходами, в основном благодаря своей структурной способности улавливать и оптимизировать сложные, взаимодействующие эпидемиологические процессы. В отличие от более простых статистических моделей, она не просто прогнозирует результаты; она предоставляет основу для понимания почему и как распространяется заболевание и какие вмешательства наиболее эффективны.

  1. Пространственно-временная неоднородность: Разделение на «зоны высокого риска» и «зоны низкого риска», как показано на Рисунке 1, является фундаментальным структурным преимуществом. Это позволяет модели учитывать различные динамики заболевания и потребности во вмешательстве в разных географических областях, что критически важно для такого региона, как Нинся.
  2. Динамические взаимодействия и миграция: Модель явно включает показатели миграции ($a_{12}, a_{21}, b_{12}, b_{21}, c_{12}, c_{21}$) между зонами для восприимчивых, инфицированных и вакцинированных овец. Это является важным структурным улучшением по сравнению с однозональными моделями или статистическими методами, которые могут упускать из виду влияние межрегионального перемещения на распространение заболевания. Как подчёркивается в Замечании 2, игнорирование миграции может «переоценить или недооценить базовое репродуктивное число различных зон».
  3. Фреймворк оптимального управления: Интеграция Принципа максимума Понтрягина для выведения оптимальных решений управления ($u_1$ до $u_6$) является значительным качественным скачком. Это позволяет количественно оценивать различные стратегии вмешательства (личная защита, вакцинация, надзор за миграцией) и их оптимальное распределение во времени при ограничении ресурсов. Это выходит за рамки простых показателей производительности, предоставляя действенные, зависящие от времени стратегии, а не просто статическую оценку эффективности.
  4. Механистическое понимание: Структура SIV обеспечивает чёткий, интерпретируемый механизм передачи заболевания, выздоровления и иммунитета, который более надёжен для разработки политики, чем «чёрные ящики» прогнозных моделей. Он позволяет рассчитывать ключевые эпидемиологические параметры, такие как базовое репродуктивное число ($R_0$), предлагая понимание устойчивости и стабильности заболевания.

Статья не обсуждает обработку высокоразмерного шума или сложность памяти, поскольку это не являются основными осями сравнения для такого типа эпидемиологического моделирования по сравнению с его соответствующими альтернативами (статистические модели, более простые модели ОДУ). Его превосходство заключается в способности моделировать сложные динамические системы с пространственными взаимодействиями и оптимизировать вмешательства в рамках этой системы.

Соответствие ограничениям

Выбранная двухзональная динамическая модель SIV с теорией оптимального управления идеально соответствует суровым требованиям проблемы, образуя прочный «брак» между проблемой и её решением.

  1. Пространственная неоднородность: Проблема явно определяет Нинся как регион с высокой заболеваемостью и «значительной пространственно-временной неоднородностью». Двухзональная структура (высокий и низкий риск) напрямую решает эту проблему, позволяя использовать различные параметры и динамику в каждой области, а также взаимодействия между ними.
  2. Ограниченные ресурсы здравоохранения: Основное ограничение — необходимость достижения целей профилактики и контроля «при ограниченных ресурсах здравоохранения». Фреймворк оптимального управления изначально разработан для этой цели. Определяя целевую функцию (4.2), которая минимизирует как кумулятивную популяцию инфицированных, так и затраты, связанные с усилиями по контролю, модель предоставляет стратегию для наиболее эффективного распределения скудных ресурсов.
  3. Дифференцированные стратегии контроля: Требование «дифференцированных стратегий контроля» удовлетворяется способностью модели определять шесть различных функций управления ($u_1$ до $u_6$) для различных вмешательств (личная защита, вакцинация, надзор за миграцией) в обеих зонах. Оптимальное решение управления затем определяет идеальное применение этих контролей во времени, что приводит к стратегиям, адаптированным к конкретному профилю риска каждой зоны.
  4. Количественная оценка эффектов вмешательства: Проблема требует количественной оценки профилактического эффекта вакцинации и надзора за транспортировкой. Модель SIV явно включает вакцинированные компоненты ($V_i$) и переменные управления ($u_2, u_5$ для вакцинации; $u_3, u_6$ для надзора за миграцией), которые напрямую модулируют эти процессы, позволяя их количественную оценку в рамках фреймворка оптимального управления.

Отклонение альтернатив

Статья неявно и явно отклоняет несколько альтернативных подходов на основании их неспособности решить основные характеристики проблемы.

  1. Статистические модели: Наиболее прямое отклонение — это «статистические модели для прогнозирования эпидемий». Авторы заявляют, что эти модели «имеют ограничения в обработке сложной динамики передачи эпидемий и трудно эффективно улавливают пространственно-временные взаимодействия с деятельностью человека и природной средой». Это подчёркивает их недостаточность для проблемы, требующей механистического понимания динамического распространения и оптимального вмешательства.
  2. Однозональные динамические модели: Хотя они явно не названы, акцент статьи на «пространственно-временной неоднородности» и построение «двухзональной» модели по сути отклоняет однозональные модели. Замечание 2 далее укрепляет это, объясняя, что игнорирование миграции в однозональных моделях «может переоценить или недооценить базовое репродуктивное число различных зон», что приводит к неточным оценкам и субоптимальным стратегиям. Необходимость «совместных комбинированных стратегий контроля между регионами» также требует многозонального подхода.
  3. Детерминированные модели для стохастических событий: В разделе «Ограничения» (Раздел 6) авторы признают, что их детерминированная модель не может описать «случайные события, такие как случайная миграция заражённых овец». Это подразумевает отказ от чисто детерминированных моделей для сценариев, где стохастичность играет значительную роль, предполагая, что будущая работа может включать стохастические процессы, такие как процесс Орнштейна-Уленбека.
  4. Общие модели машинного обучения (например, GAN, Diffusion, Transformers): В запросе они упоминаются как методы SOTA. Однако в контексте эпидемиологического моделирования для оптимального управления это не напрямую применимые альтернативы. Они предназначены для других задач (например, генерация изображений, обработка естественного языка) и не имеют механистической структуры, необходимой для моделирования динамики передачи заболевания и выведения интерпретируемых политик управления. Статья не упоминает и не отклоняет эти конкретные типы моделей, поскольку они выходят за рамки традиционных сравнений эпидемиологического моделирования. Соответствующие альтернативы находятся в области эпидемиологического и математического моделирования.
Figure 2. The transmission diagram of sheep brucellosis with high and low risk patches

Математический и логический механизм

Основное уравнение

Абсолютным ядром математического механизма данной статьи является целевая функция, которая количественно определяет общую стоимость, связанную с эпидемией бруцеллёза и усилиями по её контролю. Цель состоит в минимизации этой функции в течение заданного временного горизонта $T$. Она выражается как:

$$ J = \int_0^T \left[ A_1I_1(t) + A_2I_2(t) + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^6 B_i u_i^2(t) \right] dt $$

Это уравнение в сочетании с системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающих двухзональную модель SIV (восприимчивый-инфицированный-вакцинированный) для овец под управлением, составляет полную задачу оптимального управления. ОДУ, которые определяют динамику популяций овец, неявно входят в этот механизм, поскольку они определяют, как $I_1(t)$, $I_2(t)$ и эффекты $u_i(t)$ развиваются со временем.

Покомпонентный разбор

Давайте разберём основное уравнение и его компоненты, а также переменные управления, которые влияют на лежащую в основе динамическую систему:

  • $J$:

    • Математическое определение: Скалярное значение, представляющее общую накопленную стоимость.
    • Физическая/логическая роль: Это величина, которую авторы стремятся минимизировать. Она служит всеобъемлющей мерой бремени эпидемии (из-за инфицированных популяций) и затраченных ресурсов на стратегии контроля в течение всего периода вмешательства.
    • Почему интеграл: Динамика системы непрерывна во времени, поэтому интеграл используется для непрерывного суммирования мгновенных затрат от начального времени $t=0$ до конечного времени $t=T$. Это даёт общую, кумулятивную стоимость, а не моментальный снимок.

  • $\int_0^T \dots dt$:

    • Математическое определение: Определённый интеграл по временному интервалу $[0, T]$.
    • Физическая/логическая роль: Этот оператор накапливает мгновенное значение подынтегральной функции (функции стоимости в данный момент) за весь период вмешательства.
    • Почему интеграл: Поскольку переменные состояния и управляющие действия рассматриваются как непрерывные функции времени, интеграл является естественным математическим инструментом для суммирования их эффектов за непрерывный период.

  • $A_1I_1(t)$:

    • Математическое определение: Произведение положительного весового коэффициента $A_1$ и числа инфицированных овец $I_1$ в зоне 1 в момент времени $t$.
    • Физическая/логическая роль: Этот член представляет собой мгновенную стоимость или бремя, связанное с инфицированной популяцией в зоне высокого риска (зона 1). Более высокое значение $A_1$ означает большую приоритетность или штраф за заражения в этой зоне, что побуждает оптимизацию к снижению $I_1$.
    • Почему сложение: Этот член добавляется к общей стоимости, поскольку он представляет собой нежелательный результат (заражения), который способствует общему бремени.

  • $A_2I_2(t)$:

    • Математическое определение: Произведение положительного весового коэффициента $A_2$ и числа инфицированных овец $I_2$ в зоне 2 в момент времени $t$.
    • Физическая/логическая роль: Аналогично $A_1I_1(t)$, этот член представляет собой мгновенную стоимость, связанную с инфицированной популяцией в зоне низкого риска (зона 2). $A_2$ взвешивает важность снижения $I_2$.
    • Почему сложение: Это аддитивный компонент к общей стоимости, отражающий другой источник бремени.

  • $A_1, A_2$:

    • Математическое определение: Положительные постоянные коэффициенты.
    • Физическая/логическая роль: Это «настраиваемые параметры», которые позволяют моделистам назначать относительную важность снижения инфицированных популяций в каждой зоне. Например, если $A_1 > A_2$, это означает, что снижение заражений в зоне 1 считается более критичным или дорогостоящим, чем в зоне 2.
    • Почему коэффициенты: Они обеспечивают гибкость в балансировании целей стратегии управления.

  • $I_1(t), I_2(t)$:

    • Математическое определение: Переменные состояния, представляющие количество инфицированных овец в зоне 1 и зоне 2 соответственно в момент времени $t$. Это неотрицательные действительные числа.
    • Физическая/логическая роль: Это основные цели стратегии управления. Минимизация $J$ напрямую направлена на снижение этих популяций. Их динамика определяется системой ОДУ (4.1).

  • $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^6 B_i u_i^2(t)$:

    • Математическое определение: Половина суммы квадратичных членов для каждой из шести переменных управления, взвешенных положительными коэффициентами $B_i$.
    • Физическая/логическая роль: Этот член представляет собой мгновенную стоимость реализации стратегий управления. Квадратичная форма ($u_i^2$) означает, что применение более сильных мер контроля влечёт за собой непропорционально более высокую стоимость, что препятствует чрезмерным или нереалистичным вмешательствам. Это также гарантирует, что стоимость всегда неотрицательна.
    • Почему суммирование: Существует шесть различных мер управления, и их индивидуальные затраты агрегируются для формирования общей стоимости управления.
    • Почему квадратичная ($u_i^2$): Квадратичная форма является стандартным выбором в оптимальном управлении по нескольким причинам: она гарантирует, что стоимость всегда положительна, она сильнее штрафует большие усилия по управлению (что заставляет оптимизацию «работать усерднее» при уменьшающейся отдаче), и она часто способствует выпуклости целевой функции, что упрощает поиск уникального оптимального решения.

  • $B_i$:

    • Математическое определение: Положительные постоянные коэффициенты для каждой переменной управления $u_i$.
    • Физическая/логическая роль: Эти коэффициенты определяют относительную стоимость применения каждой конкретной меры управления. Более высокое значение $B_i$ означает, что управление $u_i$ является более дорогостоящим или ресурсоёмким в реализации.
    • Почему коэффициенты: Они позволяют точно настроить баланс между снижением заражений и стоимостью конкретных вмешательств.

  • $u_i(t)$ ($u_1, \dots, u_6$):

    • Математическое определение: Зависящие от времени функции управления, ограниченные диапазоном $[0, 1]$.
    • Физическая/логическая роль: Это переменные решения, которые процесс оптимизации стремится определить. Они представляют интенсивность или эффективность различных мер контроля:
      • $u_1(t)$: Эффект контроля мер личной защиты в зоне 1. В ОДУ он снижает эффективную скорость передачи $(1-u_1)\beta_1S_1I_1$.
      • $u_2(t)$: Эффект контроля вакцинации в зоне 1. В ОДУ он перемещает восприимчивых овец $S_1$ в вакцинированную группу $V_1$ со скоростью $u_2S_1$.
      • $u_3(t)$: Эффект контроля над миграцией из зоны 1 в зону 2. В ОДУ он снижает отток $S_1, I_1, V_1$ из зоны 1 в зону 2.
      • $u_4(t)$: Эффект контроля мер личной защиты в зоне 2. Аналогично $u_1$, он снижает эффективную скорость передачи $(1-u_4)\beta_2S_2I_2$.
      • $u_5(t)$: Эффект контроля вакцинации в зоне 2. Аналогично $u_2$, он перемещает восприимчивых овец $S_2$ в $V_2$ со скоростью $u_5S_2$.
      • $u_6(t)$: Эффект контроля над миграцией из зоны 2 в зону 1. Аналогично $u_3$, он снижает отток $S_2, I_2, V_2$ из зоны 2 в зону 1.

Пошаговый поток

Представьте систему как сложную, взаимосвязанную конвейерную линию, где популяции овец перемещаются между компонентами и зонами, подвергаясь влиянию рычагов управления.

  1. Настройка начального состояния: Процесс начинается с определённого начального количества восприимчивых ($S_1(0), S_2(0)$), инфицированных ($I_1(0), I_2(0)$) и вакцинированных ($V_1(0), V_2(0)$) овец как в зоне высокого риска (зона 1), так и в зоне низкого риска (зона 2). Эти начальные условия задают отправную точку для траектории эпидемии.

  2. Регулировка рычагов управления: В любой данный момент времени $t$ шесть рычагов управления ($u_1(t)$ до $u_6(t)$) устанавливаются на определённые значения, представляющие интенсивность вмешательства. Например, если $u_2(t)$ высок, это означает, что в зоне 1 активно проводится сильная кампания вакцинации. Если $u_3(t)$ высок, это означает, что приняты строгие меры для ограничения перемещения овец из зоны 1 в зону 2.

  3. Моделирование динамики популяций: Эти настройки управления напрямую влияют на скорости изменения каждой популяции овец в обеих зонах, как описано системой шести связанных ОДУ (4.1).

    • Снижение заражений: Управление $u_1$ и $u_4$ действует как «щиты», снижая скорость, с которой восприимчивые овцы заражаются в своих соответствующих зонах.
    • Кампания вакцинации: Управление $u_2$ и $u_5$ действует как «конвейеры», перемещая восприимчивых овец в вакцинированный компонент, делая их невосприимчивыми.
    • Управление миграцией: Управление $u_3$ и $u_6$ действует как «привратники», регулируя поток восприимчивых, инфицированных и вакцинированных овец между двумя зонами. Например, $u_3$ снижает количество овец, покидающих зону 1 для зоны 2, в то время как $u_6$ снижает количество овец, покидающих зону 2 для зоны 1.
    • Естественные процессы: Наряду с управлением, естественные показатели рождаемости ($A_1, A_2$), естественные показатели смертности ($\mu_1, \mu_2$) и показатели выздоровления ($\gamma_1, \gamma_2$) непрерывно влияют на численность популяций.

  4. Расчёт мгновенной стоимости: По мере развития популяций в каждый момент времени $t$ рассчитываются два типа затрат:

    • Бремя эпидемии: Текущее количество инфицированных овец в каждой зоне ($I_1(t)$ и $I_2(t)$) вносит вклад в стоимость, взвешенный $A_1$ и $A_2$. Это похоже на «счётчик», измеряющий текущее воздействие болезни.
    • Затраты на вмешательство: Текущие настройки рычагов управления ($u_i(t)$) также влекут за собой стоимость, взвешенную $B_i$ и возведённую в квадрат. Это похоже на «датчик топлива», показывающий, сколько ресурсов потребляется вмешательствами.

  5. Накопление общей стоимости: Эти мгновенные затраты непрерывно суммируются за весь период вмешательства (от $t=0$ до $t=T$) оператором интеграла, что приводит к единому значению общей стоимости $J$.

  6. Цикл оптимизации (концептуальный): Вся «конвейерная линия» запускается повторно с различными настройками рычагов управления (функции $u_i(t)$). Цель состоит в том, чтобы найти конкретный набор функций управления, который сделает конечную накопленную стоимость $J$ как можно меньше. Этот поиск оптимальной стратегии управления является сутью динамики оптимизации.

Динамика оптимизации

Механизм обучается, обновляется и сходится посредством применения Принципа максимума Понтрягина, фундаментального инструмента в теории оптимального управления. Этот принцип преобразует исходную задачу минимизации целевой функции $J$ при условии динамики системы в более решаемую задачу, включающую функцию Гамильтона.

  1. Формулировка Гамильтона: Первый шаг — построение функции Гамильтона $H$, как определено в уравнении (4.10). Эта функция объединяет подынтегральную часть целевой функции (мгновенную стоимость) с правыми частями уравнений состояния (динамика популяций), каждая из которых взвешена соответствующей «косостоянием» ($\lambda_{ij}$). Переменные косостояния по сути представляют собой теневую цену или предельный вклад каждой переменной состояния в общую целевую функцию.

  2. Уравнения косостояний (сопряжённая система): Чтобы найти оптимальный путь, необходимо понять, как эволюционируют переменные косостояний. Это достигается путём выведения системы дифференциальных уравнений для переменных косостояний (уравнение (4.11)). Эти уравнения получаются путём взятия частной производной функции Гамильтона по каждой переменной состояния. Важно отметить, что, в отличие от уравнений состояния, которые интегрируются вперёд во времени, уравнения косостояний обычно решаются назад во времени, начиная с граничного условия (здесь $\lambda_{ij}(T) = 0$, что означает отсутствие будущих затрат, связанных с состоянием на конец периода управления).

  3. Условия оптимальности для управлений: Суть нахождения оптимальных управлений заключается в минимизации функции Гамильтона по переменным управления в каждой точке времени. Это достигается путём приравнивания частной производной функции Гамильтона по каждой переменной управления к нулю ($\frac{\partial H}{\partial u_i} = 0$). Это даёт явные выражения для оптимальных управлений $u_i^*$ (уравнение (4.12)), которые являются функциями как переменных состояния ($S_i, I_i, V_i$), так и переменных косостояний ($\lambda_{ij}$). Эти выражения затем обычно «обрезаются» или проецируются на допустимое множество управления, которое составляет $[0, 1]$ для каждого $u_i$.

  4. Итеративное решение (прямо-обратный проход): Уравнения состояния (вперёд во времени) и уравнения косостояний (назад во времени) связаны через функцию Гамильтона и условия оптимальности для управлений. Это образует краевую задачу двух точек, которую нельзя решить напрямую. Вместо этого используется итерационный численный метод, часто называемый прямо-обратным проходом:

    • Начальное предположение: Делается начальное предположение для функций управления $u_i(t)$ на всём временном горизонте $[0, T]$ (например, все нули или случайные значения).
    • Прямой проход: Используя текущее предположение для управлений, уравнения состояния (4.1) интегрируются вперёд во времени от $t=0$ до $t=T$ с их начальными условиями. Это даёт траекторию для всех размеров популяций ($S_i(t), I_i(t), V_i(t)$).
    • Обратный проход: Используя траектории состояния, полученные из прямого прохода, уравнения косостояний (4.11) интегрируются назад во времени от $t=T$ до $t=0$ с их граничными условиями. Это даёт траекторию для всех переменных косостояний ($\lambda_{ij}(t)$).
    • Обновление управления: С обновлёнными траекториями состояния и косостояний условия оптимальности (4.12) используются для расчёта нового, улучшенного набора функций управления $u_i(t)$.
    • Проверка сходимости: Шаги 2-4 повторяются. Процесс продолжается до тех пор, пока функции управления, переменные состояния и переменные косостояний не сойдутся, что означает, что изменение между последовательными итерациями находится ниже заданного допуска. Это итеративное уточнение позволяет механизму «изучить» оптимальную стратегию управления.

  5. Ландшафт потерь и градиенты: Целевая функция $J$ определяет многомерный «ландшафт потерь». Процесс оптимизации по сути перемещается по этому ландшафту. Переменные косостояний можно рассматривать как обобщённые градиенты, указывающие направление наискорейшего подъёма (или спуска для минимизации) на этом ландшафте. Квадратичные члены в целевой функции для управлений ($B_i u_i^2$) способствуют тому, что этот ландшафт становится выпуклым, что является желательным свойством, поскольку оно обычно гарантирует, что итерационный процесс сойдётся к уникальному глобальному минимуму, а не застрянет в локальных минимумах. Итеративные обновления корректируют управления таким образом, чтобы снизить общую стоимость, эффективно двигаясь вниз по ландшафту потерь до достижения минимума, представляющего оптимальный баланс между снижением заражений и минимизацией затрат на вмешательство. Этот итеративный процесс позволяет модели найти наиболее эффективную и действенную стратегию управления с течением времени. Тщательный баланс затрат и выгод в целевой функции формирует этот ландшафт, направляя сходимость к практическому решению.

Результаты, ограничения и заключение

Экспериментальный дизайн и базовые уровни

Чтобы строго проверить свои математические утверждения, авторы приступили к комплексному процессу экспериментальной валидации. Суть их подхода заключалась в калибровке их двухзональной динамической модели SIV для овец (модель 2.1) с использованием данных реального мониторинга из Нинся, Китай, охватывающих период с 2010 по 2019 год. Критической проблемой было отсутствие прямых исторических данных о популяциях инфицированных овец. Чтобы преодолеть это, они изобретательно использовали линейный регрессионный анализ для оценки показателя позитивности бруцеллёза у овец ($x$) по показателю позитивности бруцеллёза у людей ($y$) (на 100 000 населения), наблюдавшемуся в Нинся с 2022 по 2024 год. Это дало надёжное уравнение линейной регрессии: $y = 0.0044x + 2.5822 + \epsilon$, где $\epsilon \sim N(0,0.1544)$, с впечатляющим коэффициентом детерминации $R^2 = 0.9962$ (как показано на Рисунке 4a). Эта связь позволила им оценить исторические случаи новых заражений овец как в зонах высокого, так и низкого риска за период с 2010 по 2019 год.

С этими оцененными данными модель (2.1) была затем откалибрована методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели были установлены как $S_1(0) = 1 898 000$, $I_1(0) = 42 724$, $V_1(0) = 0$ для зоны высокого риска и $S_2(0) = 2 353 000$, $I_2(0) = 9091$, $V_2(0) = 0$ для зоны низкого риска. Различные параметры, включая показатели рождаемости, коэффициенты передачи, показатели вакцинации, показатели естественной смертности, показатели выздоровления и показатели миграции между зонами, были либо подобраны по данным, либо рассчитаны, либо взяты из существующей литературы, как подробно описано в Таблице 1.

«Жертвами» или базовыми моделями, с которыми сравнивались предлагаемые оптимальные стратегии управления, были, по сути, сценарии, при которых не применялось никаких мер контроля. Это состояние «без контроля» служило эталоном для однозначного демонстрации эффективности их основного механизма — дифференцированных оптимальных стратегий управления, выведенных из Принципа максимума Понтрягина. Сравнивая кумулятивное изменение числа инфицированных овец при различных комбинациях контроля с этим базовым уровнем, они искали неоспоримые доказательства того, что предлагаемые ими вмешательства могут значительно снизить распространённость заболевания.

Что доказывают данные

Данные, представленные в статье, убедительно подтверждают эффективность предлагаемых дифференцированных оптимальных стратегий управления. Во-первых, калибровка модели оказалась высоко успешной; подогнанные результаты для новых случаев заражения овец как в зонах высокого, так и низкого риска (Рисунки 4b и 4c) показали отличное соответствие оцененным историческим данным. Это соответствие обеспечивает прочную основу для прогностических возможностей модели и последующего анализа оптимального управления.

Численные симуляции, особенно те, что представлены на Рисунке 5, наглядно демонстрируют существование и динамическое поведение оптимальных решений управления во времени. Основной механизм их подхода, заключающийся в применении теории оптимального управления к двухзональной модели SIV, показал свою работоспособность на практике, выявив конкретные профили вмешательства:
- Вакцинация в зонах высокого риска ($u_2$): Эта переменная управления последовательно поддерживала своё максимальное значение на протяжении всего периода вмешательства, подчёркивая её критическую роль в контроле бруцеллёза в зонах высокого риска.
- Вакцинация в зонах низкого риска ($u_5$): Это вмешательство показало существенное влияние вначале, но затем снизилось до нуля на более поздних этапах, предполагая, что устойчиво высокие показатели вакцинации могут не потребоваться в зонах низкого риска в долгосрочной перспективе.
- Ограничение транспортировки из зон низкого риска в зоны высокого риска ($u_6$): Этот контроль оставался на относительно высоких уровнях вначале, но затем снизился, указывая на его важность в предотвращении повторного заноса заболевания в зоны высокого риска.
- Информационно-просветительская работа в зонах высокого риска ($u_1$) и транспортировка из зон высокого риска в зоны низкого риска ($u_3$): Эти меры контроля увеличились на более поздних этапах, что подразумевает, что усиление информационно-просветительской работы и умеренное увеличение транспортировки овец из зон высокого риска в зоны низкого риска могут быть полезны в долгосрочной перспективе.
- Информационно-просветительская работа в зонах низкого риска ($u_4$): Этот контроль оставался на низких уровнях, предполагая менее значительное влияние на контроль заболевания в этих областях.

Кроме того, анализ локальных стратегий управления (Рисунок 7) показал, что хотя отдельные вмешательства, такие как $u_2$ (вакцинация в зоне высокого риска) и $u_3$ (транспортировка из зоны высокого риска в зону низкого риска), могли значительно снизить заражения в зонах высокого риска, а $u_5$ (вакцинация в зоне низкого риска) и $u_6$ (ограничение транспортировки из зоны низкого риска в зону высокого риска) были эффективны в зонах низкого риска, локальные стратегии сами по себе могут быть недостаточными для достижения общей цели контроля бруцеллёза в Нинся.

Окончательным доказательством эффективности их основного механизма стали результаты оценки комбинированных межзональных стратегий управления (Рисунок 8). Стратегия $S_{12}$ (комбинирующая $u_2$, $u_3$ и $u_5$) оказалась наиболее эффективной для зоны высокого риска, приведя к наибольшему кумулятивному снижению числа инфицированных овец. Для зоны низкого риска стратегия $S_{10}$ (комбинирующая $u_2$, $u_5$ и $u_6$) показала наибольшее положительное кумулятивное изменение, указывая на её превосходную производительность в снижении заражений. Это неоспоримо доказывает, что дифференцированный, комбинированный подход, адаптированный к конкретному уровню риска каждой зоны, имеет решающее значение для эффективного контроля бруцеллёза.

Ограничения и будущие направления

Хотя данное исследование предлагает ценные идеи и надёжную основу для контроля бруцеллёза, важно признать его присущие ограничения, которые естественным образом открывают пути для будущих исследований.

Во-первых, существенное ограничение связано с косвенной оценкой показателей заражения овец бруцеллёзом. Из-за отсутствия прямых исторических данных о стадах овец, заражённых бруцеллёзом, в Нинся, авторам пришлось выводить эти показатели из данных о заболеваемости бруцеллёзом у людей с использованием модели линейной регрессии. Хотя регрессия показала высокое значение $R^2$, этот метод косвенной оценки может вносить смещение в данные [47]. Эта зависимость от прокси-данных может потенциально повлиять на точность калибровки модели и, как следствие, на выведенные оптимальные стратегии управления.

Во-вторых, текущая модель предполагает равномерное смешивание популяций овец в пределах каждой зоны, игнорируя сложные влияния структуры популяции. Факторы, такие как возраст, различные типы разведения и специфические межзональные взаимодействия, выходящие за рамки простых показателей миграции, явно не учитываются [48]. В действительности эти структурные элементы могут значительно изменять динамику передачи заболевания, что означает, что модель может не полностью улавливать сложность распространения бруцеллёза у различных популяций скота.

В-третьих, использование детерминированной модели по своей сути ограничивает её способность описывать случайные события. Явления, такие как стохастическая миграция инфицированных овец, которая может оказать значительное влияние на передачу заболевания, не могут быть охвачены текущей структурой [49]. Реальные эпидемии часто подвержены влиянию непредсказуемых событий, и детерминированный подход может чрезмерно упрощать эти важные аспекты.

Заглядывая вперёд, эти ограничения естественным образом предполагают несколько перспективных направлений для дальнейшей разработки и эволюции этих выводов:

  1. Интеграция структуры популяции: Будущие исследования должны быть направлены на интеграцию более детальных структур популяций в модель бруцеллёза овец. Это может включать разработку модели, структурированной по возрасту, или дифференциацию между различными типами разведения (например, молочные овцы против мясных овец), чтобы лучше понять их конкретную роль в передаче. Такой подход обеспечит более тонкое понимание того, как различные субпопуляции способствуют общей эпидемии и как вмешательства могут быть более точно адаптированы.

  2. Моделирование стохастичности: Чтобы устранить детерминированный характер текущей модели, будущая работа может включать стохастические процессы. В частности, использование процесса Орнштейна-Уленбека для описания стохастичности окружающей среды или случайных событий миграции было бы весьма ценным. Это позволило бы более реалистично оценить, как случайность влияет на динамику передачи и устойчивость стратегий управления, потенциально приводя к более устойчивым планам вмешательства.

  3. Прямой сбор данных и валидация: Долгосрочной целью должен быть сбор и использование прямых, всеобъемлющих данных мониторинга о заражении овец бруцеллёзом. Это устранило бы необходимость косвенной оценки, значительно повысив точность калибровки и валидации модели. Совместные усилия между органами общественного здравоохранения, ветеринарными службами и исследователями могли бы сыграть решающую роль в создании таких систем сбора данных.

  4. Экономический анализ затрат и выгод: Хотя текущее исследование фокусируется на оптимальном управлении для минимизации инфицированных популяций, будущие исследования могли бы расшириться, включив детальный экономический анализ затрат и выгод различных стратегий управления. Это предоставило бы политикам более целостный взгляд, балансируя снижение заболеваемости с эффективностью распределения ресурсов, особенно при ограниченных ресурсах здравоохранения.

Решая эти вопросы, выводы могут быть далее уточнены, что приведёт к ещё более точным, надёжным и практически применимым стратегиям контроля бруцеллёза в таких регионах, как Нинся, и за их пределами.

Figure 5. Optimal control solution varies with time t Figure 8. The cumulative changed number of infected sheep cases CI ij is used to compare the effectiveness of control strategies Sj. The blue bar indicates the change of high-risk patch under the control strategies Sj, while orange bar indicates the change of low-risk patch under the control strategies Sj Figure 4. (a) Linear regression analysis of brucellosis seropositivity rates between human and sheep in Ningxia from 2022 to 2024. (b) and (c) Fitted results of new infected sheep brucellosis cases in high-risk and low-risk patches of Ningxia based on model (2.1). The initial values of model (2.1) are S1(0) = 1,898,000, I1(0) = 42,724, V1(0) = 0, S2(0) = 2,353,000, I2(0) = 9091, V2(0) = 0